Катречко С.Л.

О (концепте) числе(а): его онтологии и генезисе[1]

 

В начале было Ничто.

Ничто устало быть Ничем

И решило стать Нечто.

Нечто захотело познать Всё,

поэтому Нечто разделилось на Части

и Части, опасаясь забыть то, как они

превратились в Нечто, разыскали Порядок.

Порядок дал Частям Числа, которые собрали

Части друг с другом в прекрасные Пропорции.

Далее, из Ниоткуда, тесно связанного с

Ничем, пришла Иррациональность.

Иррациональность прямо заявила о том,

что Части На самом деле были Ничто.

Просветившись, Части тихо вернулись обратно в Нечто, которое, как теперь они узнали,

в действительности есть Ничто,

и представили поиск Всего Числам.

                                                                    (Сара Восс  Миф о Числе)

0. Концептуальный анализ

Философия занимается концептуальным анализом, или анализом концептов[2]. Соответственно, философия математики должна заняться в первую очередь анализом категориального базиса математики, основу которой составляет концепт числа.

Один из центральных постулатов концептуального анализа, состоит в том, что любой концепт имеет составной характер и, поэтому, задача анализа заключается в том, чтобы выявить смысловые составляющие концепта и взаимосвязи между ними, т.е. эксплицировать его сложную структуру. Методологию анализа выразим с помощью правила схоластов: «Хорошо учит тот, кто хорошо различает». Соответственно, наша задача заключается в том, чтобы проанализировать (сложную) структуру концепта числа.

Что собой представляет концептуальный анализ? Поясним это на примере рассуждения Кузанского о совпадении абсолютного максимума и минимума:

«Абсолютный максимум пребывает в полной актуальности, будучи всем, чем он может быть, и по той же причине, по какой он не может быть больше, он не может быть и меньше: ведь он есть все то, что может существовать. Но то, меньше чего не может быть ничего (то, что не может стать меньше — К. С.), есть минимум. Значит, раз максимум таков, как сказано, он очевидным образом совпадает с минимумом…

Очевидно, что уже из этого фрагмента следует тезис о тождестве максимума и минимума. Во-первых, абсолютный максимум должен включать в себя все, в том числе и минимум, ибо в противном случае он не мог бы называться абсолютным максимумом (тем самым обоснован более слабый тезис о включении минимума в максимум). Во-вторых, максимум как абсолют не может быть уменьшен: абсолют не может быть ни меньше, ни больше, — ибо в этом случае он перестанет быть абсолютом. Однако ниже Кузанский усиливает (проясняет) свою аргументацию путем проведения концептуального анализа. Сначала он выделяет в составе концептов две взаимосвязанные, но все же различные идеи: максимальность и количественность. Затем показывает, что при исключении чуждой для абсолюта идеи количественности, концепты абсолютного максимума и минимума (по идее максимальности) совпадают.

… Все это для тебя прояснится, если представишь максимум и минимум в количественном определении. Максимальное количество максимально велико, минимальное количество максимально мало; освободи теперь максимум и минимум от количества, вынеся мысленно за скобки «велико» и «мало», и ясно увидишь совпадение максимума и минимума: максимум превосходит все и минимум тоже превосходит все; абсолютное количество не более максимально, чем минимально, потому что максимум его есть через совпадение вместе и минимум» [2, c. 54] [3].

Часть 1. Онтология числа

1. Отвечая на вопрос: «что такое математика?», можно в первом приближении сказать, что математика есть наука о ЧИСЛЕ. Однако этот тезис требует уточнения.

1.1. Во-первых, в точном смысле слова наукой о числе как таковом (в узком значении) занимается не вся математика, а ее часть — арифметика, или алгебра; другая же часть математики — геометрия — занимается не числовыми, а точкоподобными объектами. Т.е. математика занимается и числом, и точкой. Контраргументом против подобного расширения предмета математики являются процедуры редукции геометрических объектов к числовым (аналитическая геометрия Декарта, гильбертовская формализация геометрии, теоретико-множественная семантика), а также концептуальная близость числа и точки. Для предотвращения суживания предмета математики из-за ассоциации числа с арифметическим числом переформулируем тезис, заменив в нем термин «число» на «числоподобный объект»: математика изучает системы числоподобных объектов (далее под числом мы будем понимать числоподобный объект[4]).

1.2. Однако произведенное выше расширение предмета математики может оказаться недостаточным. Дело в том, что тесная увязка математики с числом может существенно ограничить сферу математики, если число является лишь разновидностью некоторой более широкой категории. Это указывает на необходимость прояснения соотношения концептов числа, количества, величины[5]. Родовым же по отношению к концепту числа является концепт математической формы[6]. Тем самым математика является не содержательной, а формальной наукой, наукой о математических формах (структурах по Бурбаки, [4]), а ее разные разделы связаны с изучением различных типов математической формы, как-то геометрическая форма, арифметическая форма etc.

1.2.1. Данная в п. 1.2 характеристика математики указывает на содержательную — видовую — характеристику математической формы: математика исследует числовые, или количественные, формы. Использование здесь категории количества подчеркивает то, что математика работает не с качественными абстракциями, которые используются в других науках, а с количественными абстракциями второго порядка.

1.2.2. Специфика математического как числовых (количественных) форм на грамматическом уровне выражается в противопоставлении прилагательных как качественных предикатов и числительных как количественных форм (метапредикатов). Фреге подчеркивает, что числовые предикаты сходны с предикатом бытия, который также имеет не-содержательный (формальный) характер [6, стр. 80].

1.3. Указание на формальный характер математики сближает ее с логикой, которую, в свою очередь, можно определить как науку о логических формах (в силу этой близости дальнейшие рассуждения, вплоть до п. 6 применимы и к логике)[7]. С другой стороны, ранее мы противопоставили математику другим — содержательным — наукам. Поясним это чуть подробнее. Рассмотрим следующий ряд: история — психология (социология) — биология — химия — физика — математика — логика (грамматика), в котором науки расположены в соответствии с «силой» запретов, накладываемых ими на универсум. Первая из перечисленных наук, история изучает уникальные (исторически неповторимые) события, поэтому она накладывает максимальное число запретов на универсум, что исключает какую-либо вариабельность исторических событий, т.е. приводит к максимальному сужению изучаемого исторического универсума до одной-единственной — фактической — исторической линии. Последующие науки ряда накладывают меньшее число ограничений и, вследствие этого, (1) изучают более широкие фрагменты универсума и (2) допускают большую вариабельность. Биологическая теория, например, в числе своих законов не учитывает запретов, связанных с социальной организацией человека. Зато и веер возможных сценариев биологического развития (например, жизни на Земле) намного богаче, а сфера применимости биологии гораздо шире, поскольку ее законы справедливы не только для Земли последних нескольких тысяч лет. Принципиальная граница проходит между последней содержательной наукой физикой и математикой (логикой). Если все остальные науки, несмотря на их различие по степени общности (сфере применимости), занимаются изучением только одного — нашего действительного — мира, то математика и логика изучают закономерности, присущие (под)множеству возможных миров (в идеале — любому возможному миру). И хотя число запретов этих наук минимально (например, логика, по сути, запрещает только противоречивость универсума рассуждений), однако «сила» законов (запретов) этих наук имеет уже абсолютный и всеобщий характер[8]. Именно это и придает математическому знанию аподиктический характер: истины математики являются лейбницевскими истинами разума, справедливыми для любого возможного мира, в том числе и для нашего мира.

2. Что означает формальный характер числовых предикатов? Если прилагательные служат для выражения качественно-содержательных свойств самой вещи, то формальные количественно-числовые предикаты выражают признаки не вещи, а «объемные» — экстенсиональные — признаки некоторого общего понятия, под которое подводится эта вещь (resp. интенсиональные свойства понятий изучает логика понятий). Здесь мы солидарны с концепцией числа Фреге, суть которой он выражает с помощью пассажа Спинозы: «…ибо мы мыслим вещи под [категорией] числа только после того, как они подведены под некоторый общий род (выделено нами — К.С.). Так, например, человек, держащий в руке сестерцию и империал, не подумает о числе «два», если он не имеет возможности назвать их одним и тем же именем, а именно: «монетами», или «деньгами», ибо в этом случае он может утверждать, что имеет две монеты, так как этим именем он обозначает как сестерцию, так и империал» [6, с. 77][9].

2.1. Указание на экстенсиональный характер числовых предикатов позволяет привлечь к нашему анализу кантовское различение интенсивных и экстенсивных величин [10, с. 136—141] и определить математику как преимущественное исследование экстенсивных величин. «Экстенсивной я называю всякую величину, в которой представление о целом делается возможным благодаря представлению о частях (которое поэтому необходимо предшествует представлению о целом). Я могу представить линию, как бы мала она не была, только проводя ее мысленно, т.е. производя последовательно все [ее] части, начиная с определенной точки…» [10, с. 137]. Специфика математического определяется Кантом как синтез однородного [10, с. 136][10]. Т.е. математика исследует не саму вещь саму, а ее созерцательный аналог. Это как бы внешний взгляд на вещь и фиксация занимаемого ею пространственно-временного места (набора мест): например, вместо анализа свойств реального движения, математика изучает свойства математического аналога движения — неподвижной траектории. При этом познание внутренней самости вещи (например, сути движения) не изучается, зато схваченное с этой — внешней — точки зрения место вещи предстает как (экстенсивная) величина, т.е. поддается измерению.

2.2. Выше мы определили числовые предикаты как абстракции второго уровня, подчеркивая их не-содержательный характер. Это не совсем точно, т.к. сфера математического содержит количественные абстракции и более высоких типов. Конечно, все они являются формальными по отношению качественно-содержательным предикатам, но между собой образуют своеобразную гилеоморфную иерархию. Подробнее мы будем говорить об этом ниже, при обсуждении вопроса о слоистом строении числовой сферы.

3. Формальный характер математического знания указывает на то, что любое ЧИСЛО — идеально. Этим мы отнюдь не приписываем математическим объектам реального существования в каком-нибудь платоновском мире идей или в третьем мире Поппера. Наша трактовка идеального связана с концепцией возможных миров, а под идеальным мы понимаем любое превосхождение реального. В частности, идеальным является, отличный от действительного возможный мир и тем более множество всех возможных миров. Математическое представляет собой количественный срез ядра этого множества, общего для всех возможных миров. Такое расширение сферы идеального (по сравнению с реальным) ведет к снижению его онтологического статуса: идеальное имеет не действительный, а возможный характер своего существования, идеальный мир является всего лишь возможным миром. Тем самым числа (как таковые) ненаходимы в реальном мире физических вещей (ср. известным выражением «ЧИСЛА на дороге не валяются»), что не исключает (1) их проявленности в нашем мире, т.е. нахождения в нем их символьных аналогов и (2) «непостижимую эффективность» математического в мире (парафраз тезиса Ю. Вигнера).

3.1. Соотнесение числа с идеальным, делает необходимым задачу прояснения концепта идеального. Поскольку здесь эта задача имеет вспомогательный характер, то ограничимся указанием на два главных смысловых момента этого концепта.

Во-первых, первоначальный смысл идеального задается платоно-аристотелевским различением двух «миров»: «мир вещей vs. мир идей» (Платон), или «материя vs. форма» (Аристотель). Т.е. идеальное может быть отождествлено с формальным и поэтому математика является анализом формально-количественных аспектов существующего.

Во-вторых, число есть не столько результат абстрагирования от материального (что постулируется натуралистической трактовкой числа), сколько идеализированная сущность. Т.е. число есть результат идеализации, или гуссерлевской идеации (второй смысловой момент концепта идеальное). Для прояснения различения абстрагирования от идеализации обратимся в кантовскому различения аналитического и синтетического, которое вместе с тем является и ключом к ее решению проблемы «эффективности» математики в мире физических объектов (см. п. 5). Абстрактное всегда вторично, или аналитично: оно выводимо из конкретно-первичного основания абстрагирования. Поэтому, если математические сущности абстрактны, то неясно как они могут быть эвристичны. Идеальное же  — синтетично, содержит новые смыслы, которые при переносе на действительный мир дают нечто новое. Поэтому математика и открывает новое в мире вещей, является «непостижимо эффективным» инструментом выявления новых аспектов, связей и соотношений. Может быть, одним из самых впечатляющих примеров привнесения нового может служить идея симметрии (ср. с кантовской рефлективной способностью суждения, которая привносит эстетические идеи (красоты) в природный мир).

4. Идеальность математического ставит барьер попыткам приписать числу и/или его генезису эмпирический характер: сначала люди работали с телесными получислами типа пифагорейских камешков, а потом, в результате абстрагирования, возникли абстрактные числа, т.е. числа как таковые (см. текст С. Бычкова). Во-первых, любая натурализация числа не может объяснить аподиктически-синтетический характер чисел, т.е. каким образом математическое имеет аподиктический характер для всех возможных миров. Во-вторых, натурализм является методологически несостоятельными, поскольку предполагает неявно изначальную данность идеи числа, т.е. содержит логический круг.

Одним из принципиальных вопросов, на который должна ответить концепция (генезиса) числа, является вопрос о генезисе идеи числа: откуда пифагорейцы опознали в своих камешках именно числа, а не что-то еще (например, строительный материал)? Другим — является вопрос о генезисе не только первых (натуральных) чисел, но и других, более сложных, числоподобных объектов. Отвечают ли на эти вопросы натуралистические концепции числа? На первый — вовсе нет, на второй — лишь отчасти[11].

5. Если вспомнить о теме предыдущей конференции (сборника) «Математика и опыт», то можно сформулировать основную проблему философии математики как проблему соотношения возможных формально-идеальных чисел и реально существующих содержательно-материальных вещей, или проблему эффективности математики. Эксплицируем наш подход к решению этой проблемы. С учетом аподиктично-идеального характера математического знания статус числа можно определить как возможностно-необходимый. Его возможностный характер связан с тем, что в нашем мире числовые закономерности имеют необходимый, но недостаточный характер. Числовые закономерности универсальны и предопределяют общую формальную структуру существующего, но не определяют всех его материально-содержательных моментов. А это значит, что реализация частных идеально-числовых закономерностей в нашем мире связана с выполнением тех или иных (ограничивающих) условий. Главное из них заключается в том, что математика не учитывают качественной специфики существующего, а работает с гомогенным. Поскольку же реальный физический мир не однороден, то (частные) математические законы выполняются в нем с той или иной степенью точности, т.е. имеют вероятностный характер. В предельных случаях, т.е. когда качественные различия между сущностями слишком велики, то математическое знание оказывается заведомо ложным (ср. с принципом фальсификации К. Поппера): например, равенство «2+2=4», справедливое для целого класса возможных миров неприменимо к совокупности («сумме») двух кошек и двух мышей, посаженных в одну клетку.

6. Уточняя принципиальный для нас тезис п. 3, сформулируем центральный тезис этой части нашего исследования: ЧИСЛО имеет символически-идеальный характер бытийствования (термин существования мы резервируем для реального — «физического» — существования). В чем заключается символический способ бытийствования чисел? Для прояснения этого воспользуемся концепцией третьих вещей[12], зачатки которой можно найти уже в аристотелевском различении фюзиса (φύσις) и технэ (τεχνη)[13]. Суть концепции в том, что помимо обычных — физических, природных — вещей и феноменов сознания есть еще и третьи вещи, имеющие сверхприродный, т.е. смешанный природно-культурный (физически-сознательный) статус. Третьей вещью является любой артефакт и, даже, любая природная вещь, функционирующая в культуре, поскольку она в этом своем качестве имеет еще и особое культурное — символическое[14] — значение, которое как бы просвечивает сквозь природный материал. Понятно, что культурная составляющая, являясь вторичной, как бы надстраивается на первичной — природной — составляющей; а для понимания этого символического значения требуются, во-первых, особое устройство познавательного аппарата (сознания) человека и, во-вторых, причастность человека к соответствующему коду дешифровки символов [16]. В качестве примера третьих вещей рассмотрим деньги. При нашей попытке трактовать деньги натуралистически, т.е. при их трактовке как вот этих физических предметов (металлических монет), остается непонятным, что делает эти предметы собственно деньгами. Дело здесь обстоит в том, что через физическую — материальную составляющую — в деньгах (символически!) просвечивает их не-материальная — формально-идеальная — сущность, о которой мы знаем (а, например, маленький ребенок или туземец — нет). Дополнительная же сложность этого примера связана с тем, что денежная составляющая является уже вторичной культурной надстройкой, поскольку надстраивается не только над их природной основой, но и над их первичным культурным значением, каковым является, например, использование металлических кругляков в качестве украшения. Также обстоит дело и в случае с пифагорейскими камешками — числами. Здесь существенно не их телесность, а то, что они функционируют в своем символическом качестве числа. В этом смысле решающий шаг был сделан именно пифагорейцами и последующий генезис числа не привнес ничего принципиально нового, кроме укрепления осознания того, что сущность (природа) числа не в их материальном носителе, а в их идеальной природе: поэтому камешки превратились в современные цифры, где материальная составляющая чисел сокращена до минимума. При этом не исключено, (1) что сами пифагорейцы как первооткрыватели числа[15] еще не вполне ясно понимали всю глубину своего открытия и первоначально числа фигурировали в виде превращенной формы, когда на первый план выходит менее существенный для их функционирования материальный фактор; или (2) что так, посредством акцентирования внимания на материальном носителе, первоначально непонятную идею числа можно было сделать доступной для учеников и остальных современников.

6.1. Приведенная аналогия проясняет суть символической природы числа, но все же несколько неточна. Числовой символизм имеет более фундаментальный характер, чем культурный символизм технэ. Вернемся к нашему примеру с монетой. Допустим, что мы не опознаем ее как (денежную) монету и даже не опознаем ее в качестве некоего культурного феномена, т.е. считаем ее чем-то природным. Но и в этом случае мы сможем сказать, что она одна (+ зафиксировать другие ее количественные характеристики: вес, размер…), т.е. выявить ее числовую форму. Соответственно, при опознании в монете (как третьей вещи) вторичных культурных составляющий числовые формы[16] начинают очисливать каждую из них, расширяя набор количественных характеристик: теперь, например, исчисляется не только (природный) вес и размеры вещи, но и величина ее денежной составляющей — номинал (стоимости) монеты. Тем самым число является универсальным символом (архетипом), просвечивающим сквозь любой — природный и культурный — материал вещи. Здесь мы солидарны с тезисом Хайдеггера о непосредственно-априорном характере математического: «”τά μαθήματα” означает для греков то, что при рассмотрении сущего и обращении с вещами человек знает заранее (подчеркнуто мной. — К.С.): в телах — их телесность, в растениях — растительность... К этому уже известному, т.е. математическому, относятся, наряду с вышеназванным, и числа. Обнаружив на столе три яблока, мы [непосредственно] узнаем, что их там три» [17, с. 43].

6.2. Универсальность числового символизма указывает на его взаимосвязь не столько со спецификой какой-либо (например, греческой) культуры, а с глубинными механизмами человеческого сознания. Тем самым мы предполагаем трактовку человека как символического животного (Э. Кассирер), ибо в противном случае непонятно, как происходит восприятие числовых форм-символов. Базисом же этой концепции служит аристотелевское учение о душе как форме форм, т.е. как таком органе познания, который способен к восприятию форм (символов) вообще и числовых форм в частности.

6.3. Превращенный характер пифагорейских чисел предопределяет развитие математического от абстрактного к конкретному. В ходе продумывания первоначального концепта числа последующая мысль развивалась двояко. С одной стороны, происходило углубление в осознании идеальной природы числа и очищение области числового от инородных материально-содержательных моментов; с другой стороны, сфера числового расширялась за счет открытия новых типов числоподобных объектов (ср. с развитием математики от натуральных к комплексным числам). Основными этапами конкретизации первоначального концепта числа можно считать выделенные Бурбаки математические структуры: алгебраические, порядковые и топологические. В топологических структурах элементы максимально безличны (точки неотличимы одна от другой); в структурах порядка элементы уже упорядочены с помощью отношения «больше-меньше»; в алгебраических структурах каждый элемент имеет свое уникальное (порядковое) имя — число, т.е. здесь числовое получает свое максимальное выражение.

Промежуточный итог (пп. 1—6): математика как наука о мыслимом работает с архетипической символически-идеальной количественной формой — ЧИСЛОМ.

Далее наш анализ разделяется на две относительно независимые части. Первая — связана с развитием с развитием тезиса п. 2.2 о слоистом характере области числа. Вторая — посвящена генезису числа, о чем мы говорили в п. 6.2. Порядок расположения этих частей может быть изменен.

Часть 2. Слоистая структура идеально-числовой сферы[17]

7. Очертив внешние границы идеально-числовой сферы, перейдем теперь к анализу ее внутренней структуры. Т.е. наш анализ теперь сосредоточен на выявлении различных онтологических слоев и видов числового. При этом нас интересует не столько различные типы чисел с математической точки зрения: как-то различие между натуральными, целыми, рациональными, действительными и комплексными числами, сколько онтологические различия между числами, в том числе и вышеперечисленными. Более того, современная математика существенно обогащает количество числоподобных объектов, вопрос об онтологическом статусе которых остается открытым. Особый интерес здесь представляет концепция числа Фреге, в которой, по сути, вводится отличный от обычных измерительных чисел принципиальный новый класс счетных (мета)чисел [11b].

Исходя из общего тезиса о том, что бытие в целом и область идеального (в частности) имеет слоистую структуру (Н. Гартман, [18]), наш тезис таков: идеально-числовая сфера имеет свою собственную слоистость (ср. с теорией типов Рассела vs. кантовской определением математики как сферы гомогенного)[18].

7.1. Разработка концепции слоистого бытия числового восходит к платонизму. Платон, например, различает первичные эйдосные числа и вторичные математические числа[19], а в «Тимее» намечает различие между геометрией и арифметикой. Прокл в комментарии к Евклиду проводит уже четкое онтологическое различение на «метафизическую» арифметику и «физическую» геометрию [11а]. Позже Августин различает пространственные и временные числа (см. текст В. Глебкина). Однако четкого критерия различения чисел у платоников нет. Не является таковым и «привязка» геометрии к воображению, а арифметики к интеллекту: знаменитый декартовский пример с хилигионом и, тем более, введение абстрактных геометрических объектов показывают, что геометрия, как и арифметика, также скорее относится к сфере умопостигаемого.

7.2. Для прояснения онтологических различий возьмем в качестве критерия пространственно-временную пару, варьирование которой задает четыре сферы бытия: пространственно-временную (физическая реальность); пространственно-вневременную (область классической математики); непространственно-временную (область вычислительной (алгоритмической) математики; виртуальная реальность[20]); и, наконец, непространственно-вневременную (метафизическая реальность).

7.2. Внутри непространственно-временной сфера выделим две подобласти.

7.2.1. Во-первых, это область количественно-измерительных чисел, к которой принадлежат основные типы арифметических чисел. Более точной характеристикой этой области было бы следующее: это область не чистого количества, а качественного количества. В данном случае числа функционируют как измерительная мера физических качественных величин, а областью их применения является мир вещей (поэтому эти числа можно назвать вещными). Различия же между натуральными, целыми, рациональными, иррациональными, комплексными числами имеют не онтологический, а операциональный характер: каждый из последующих типов чисел обеспечивает полноту применения соответствующей арифметической операции: сложения и умножения, вычитания, деления, извлечение корня. Интересная попытка их «логического» (диалектического) структурирования принадлежит Лосеву [3], которая, несмотря на некоторые нестыковки, в целом справляется с поставленной задачей.

7.2.2. Во-вторых, это область порядковых (счетных) чисел, которые являются метачислами, поскольку функционируют как средства счета (пересчета) количественно-измерительных чисел. Этот тип чисел вводится в работах Фреге [6], который рассматривает их как признаки не элементов первого уровня — вещей, а элементов второго уровня — объемов понятий][21]. Тем самым он отказывается от вещной трактовки числа, т.е. понимания числа как атрибута вещи, что, например, позволяет прояснить смысл ноля.

7.3. Различие измерительных и счетных чисел покажем путем выявления двух взаимопереплетенных смыслов математического аналога Единого — числовой Единицы. С одной стороны, Единица — это количественно-качественный один, т.е. начало вещного измерительного числового ряда, или бытийная единица. С другой стороны, Единица является первым элементом счетного ряда чисел — нолем, т.е. ничтойной единицей (ноль как «мощность» пустого множества (понятия) соотносится с ничто[22]). В грамматике это смысловое различие фиксируется различением количественных и порядковых числительных: единица — это и количественный один, и порядковый первый ноль.

7.4. Если сферой применения измерительных чисел (как развертки бытийной единицы) является пространственно-временная реальность, то сфера же применения счетных чисел (как развертки ничтойного ноля) гораздо шире. Она представляет собой область возможного, которая включает в себя не только реальные объекты, но и фиктивные — ничтойные — объекты, не имеющих денотата, но имеющих смысл (например, золотая гора, кентавр и круглый квадрат). Это позволяет высказать тезис о возможности ничтойной математики, основанием которой является возможность упорядочивания «пустых» понятий. Пусть, например, выражение «не-круглый круг» является выражением абсолютного противоречия. Помимо этого противоречия существуют еще и относительные противоречия типа «круглого квадрата». Согласно логическому закону обратного соотношения объема и содержания понятия ряд «книга — учебник — учебник по логике — учебник по логике Черча» завершается единичным понятием. Следующим членом этого ряда должно быть «пустое» понятие с нулевым объемом, например не-черчевский учебник по логике Черча. Согласно тому же закону это пустое понятие должно обладать всеми признаками этого рода. Однако возникает вопрос: принадлежит родовому понятию «книга» другое пустое понятие, например круглый квадрат? Семантические соображения подсказывают отрицательный ответ: разные «пустые» понятия хотя и имеют нулевой объем, однако различны и, более того, можно задать их определенный порядок, а абсолютно пустое понятие, или абсолютный ноль (например, не-круглый круг), есть предельный случай «пустого» понятие, которое содержит все предикаты, т.е. является начальным элементом любого понятийного ряда.

8. Выделенные выше три сферы бытия (1, 3 и 4[23]; ср. с тремя мирами Поппера) указывают на возможность развития не-физических математик для ментальной и метафизической сфер бытия[24]. Из-за их физической непространственности применение физической математики здесь ограничено (неадекватно), а условием развития не-физических математик является введение особых квазипространственных сред.

8.1. Что можно измерять в области ментального? Видимо, интенсивность и временной порядок ментальных процессов. На эту роль вполне годится вычислительная математика. Как и любая математика, вычислительная математика не может претендовать на познание «внутренности» ментальных процессов. Она может выявить (числовые) закономерности только внешнего плана этих процессов: с этим справляется понятия алгоритма и информации, последнее из которых также выполняет роль квазипространственной среды. Онтологическая специфика сферы ментального предопределяет отличие гуманитарной математики от классической — физической — математики, и поэтому сейчас происходит активный процесс конституирования вычислительной математики в самостоятельную сферу гуманитарных исследований computer science, тяготеющую к логике и психологии.

Отличием не-физических математик (ментальной математики) является то, что они должны включать в свой арсенал интенсивные величины. Приведем в этой связи примечательный пассаж из работы Рибо: «Сознание походит на фреску, в которой переход одного цвета достигается благодаря употреблению разных степеней света и тени. Идея пера, чернильницы не есть что-либо постоянное, резко очерченное, как резко очерчены сами эти предметы» [23, c. 194]. Указанная расплывчатость объектов сферы сознания (идеального) ограничивает возможности применения здесь экстенсивной математики.

8.2. Развитой метафизической математики пока не существует. Основными техниками анализа идеального на сегодняшний день являются логика и диалектика, которые представляют собой скорее качественный уровень анализа, в то время как математика должна исследовать его количественный аспект. Однако логика и диалектика определенным образом упорядочивают эту область: логика выстраивает родо-видовые иерархии понятий, а диалектика строит их линейно-спиралевидные смысловые цепочки. Тем самым создается определенная гомогенная среда смыслового пространства, что является предпосылкой для последующего (возможного) применения средств математики.

Трудность, с которой придется столкнуться метафизической математике состоит в том, что количественные формы а сфере идеального имеют вырожденный характер, т.к. там находятся лишь абсолютные предметы, которые с трудом поддаются (числовому) измерению (ср. с рассуждением Кузанского о совпадении максимума и минимума).

Промежуточный итог (пп. 7—8): различение измерительных и счетных чисел —лишь первый подход к различению слоев этой области. Дальнейший анализ может привести к еще более тонкому различению, на основе которого и будут развиваться постулируемые нами ментальная и метафизическая математики.

Часть 3. Генезис числа

9. Ранее мы показали несостоятельность натуралистических концепций возникновения числа. С другой стороны, (нео)платоновское придание математической сфере особого промежуточного статуса между миром вещей и миром идей, т.е. утроение мира, также представляет собой слишком сильное онтологическое допущение. Избежать опасностей натурализма и платонизма можно, если подойти к вопросу о специфике математики не онтологически, а эпистемологически. За основу здесь можно взять деятельностный подход кантовского трансцендентализма, в рамках которого необходимо соотнести генезис ЧИСЛА с определенными механизмами сознания. Ранее впечатляющая попытка подобного рода уже была предпринята А.Ф. Лосевым [3], которая в силу исторических обстоятельств не была завершена.

9.1. Суть нашего подхода состоит в построении такой модели познавательного акта, которая объяснила бы генерирование числовых форм, при условии, что никаких начальных знаний, в том числе и знания о числе (идее числа), у субъекта познания еще нет. Решающим здесь является кантовский синтез схватывания[25], который осуществляет конечный трансцендентальный субъект, обладающий также рефлексией, благодаря чему синтез схватывания превращается в сложный иерархический акт и происходит генезис от простейших типов чисел к более развитым числовым объектам.

Первоначальный акт схватывания начинается с (пред)полагания неопределенного многообразия, кантовского неопределенного предмета х. Это неопределенное нечто, во-первых, есть до всякого акта мышления (сознания) и даже до всякого чувственного акта, и, во-вторых, оно воздействует на нас. И вот когда мы бросаем взгляд на это нечто (т.е. наша мысль нацеливается на него), то это первоначальное нечто схватывается нами: мы что-то выхватываем из этой серой массы, синтезируя его как Это. Заметим, что в силу нашей конечности, мы можем схватить только какую-то часть (конечный квант) первоначального нечто: Это схватывается как что-то одно (Это₁) т.е. полагается как единица. Но единица содержит в себе ограничение, поскольку помимо одного есть и другое: этому всегда противостоит неопределенное то (иное), представляющее собой фон, на котором происходит акт схватывания. В этом ином и содержится последующая множественность, или двоица (как противоаналог единицы). В последующих актах схватывания из неопределенной двоицы синтезируется весь числовой ряд, т.к. в результате следующих актов схватывания из оставшегося после первого схватывания иного будет выделено Это₂, потом Это₃ и т.д.[26].

Правда, пока, в точном смысле слова, говорить о синтезе числового ряда нельзя: для этого необходимо совершить новый (мета)акт схватывания. Вспомним, что процесс познания начался с полагания неопределенного многообразия. В результате совершения последовательных актов схватывания произошло его определенное упорядочивание, но вместе с этим появляется новое многообразие отдельных, хотя и схваченных нами единицы (Это₁), двойки (Это₂), тройки (Это₃)… Это новое многообразие выступает как основа для нового синтеза схватывания[27]. Тем самым из отдельных единиц полагается новый числовой (мета)объект: натуральный числовой ряд или континуум, который образуется путем синтеза первоначально положенных точек.

9.2. Ненадолго прервем наш анализ процесса познания задержимся на первом схваченном Этом₁, в котором проявляется суть математического.

Чем математика отличается от содержательных познавательных практик естествознания (физики, химии etc)? Возьмем в качестве примера радугу или цветовой спектр. Т.е. радуга выступает сейчас как первоначально-неопределенное нечто, которое предшествует акту схватывания. Первому акту полагания соответствует выделение какого-либо цвета, например красного. Заметим, что схватывание красного можно осуществить двумя типами актов. Первый из них представляет собой содержательное схватывание, т.е. выделение красного на основании его качественных характеристик. Такого рода акты и приводят к развитию физических (в широком смысле этого слова) практик. Однако, вместе с ним (или параллельно с ним, или вместо него (?)) возможен полагающий акт другого типа, а именно формальное выделение вот этого красного как одного из цветов спектра. При этом, конечно, не схватывается его качественная краснота, зато с помощью Это₁ фиксируется его формально-количественная характеристика как первого левого члена данного ряда. Это и есть собственно математический акт, спецификой которого является фиксация «внешнего» местоположения схватываемого предмета.

(Заметим, что помимо двух вышеописанных здесь совершается и третий познавательный акт, который предшествует первым двум. Если при схватывании мы отвлекаемся как от качественной, так и от количественной специфики предмета, то мы совершаем максимально абстрактный метафизический акт, фиксируя простое наличие Этого, т.е. полагаем сущее как сущее, а не сущее как таковое (физический акт) и не сущее как одно (математический акт). Здесь мы следуем Аристотелю, который выделял три возможных модуса познания сущего: физический, математический и метафизический [24, с. 374][28]).

9.3. Вернемся к нашему анализу математического познавательного акта. Выше мы выделили три основные бурбакистские математические структуры. Каким образом они конституируются в ходе акта схватывания? Различие между алгеброй и топологией задается так. Первым математико-полагающим актом схватывается Одно, причем в процессе его полагания надо различить два момента. Во-первых, внимание субъекта может быть сосредоточено на центре Одного, как бы сфокусировано на нем самом — и тогда Одно полагается в качестве арифметической единицы. Так возникает арифметика (алгебра), которая основана на обособлении единиц друг от друга, т.е. является существенно дискретной. Во-вторых, наше внимание может быть как бы расфокусировано, т.е. направлено на края Одного. Тогда мы фиксируем не арифметическую единицу, а геометрическую точку как внешнее место Одного. В этом модусе схватывания для нас важна уже не единичность Одного, а его взаимосвязь с другими точками. Тем самым мы совершаем топологический (геометрический) математический акт, в ходе которого постулируется не дискретность, а континуальность: граница Этого₁ выступает здесь не как фактор его обособления, а как его место встречи с Другими. Т.е. геометрическая точка выступает как инобытие (арифметического) числа, как его пространственное место. Для прояснения этого различия можно привлечь кантовский подход к сочетанию метафизического и геометрического из его «Физической монадологии»: каждая монада помимо своего арифметического центра (как интенсивного средоточия), обладает и геометрической сферой влияния (местом) [29], причем синтез этих мест и составляет непрерывный континуум в отличие от дискретного ряда (арифметических) единиц.

Структуры порядка имеют более сложный генезис. Они возникают в акте схватывания второго порядка и предполагают акт анализа. В этом случае мы, наряду с синтезом Этого₁, … Этого_n в арифметический ряд или геометрическую прямую, совершаем акт анализа их местоположения относительно друг друга, т.е. наше внимание схватывает находится ли Это₁ правее или левее (выше—ниже) Этого₂ (других Этих_n).

9.4. В заключении наметим еще одну линию анализа. Ранее мы отвлеклись от перцептивно-апперцептивной структуры акта схватывания[30], сосредоточив свой анализ на внешней перцептивной составляющей. Но в акте схватывания есть также внутренний апперцептивный момент, который в перцептивном синтезе проявляется как акт внимания, предшествующий схватыванию, а в своей сущности представляет собой самосхватывание субъекта познания. Т.е. на самом деле в процессе познания одновременно конституируются (схватываются) как эмпирический субъект познания, так и его объект. Выявленная выше иерархическая структура акта схватывания в перцептивном синтезе приводит к конституированию пространства (дискретно-арифметического или континуально-геометрического), особенностью которого является координация (рядоположенность) его элементов как Это₁ … Это_n и, соответственно, к конституированию внешних (пространственных?) чисел; а в апперцептивном синтезе (за счет рефлексивного подъема от сознания к само— и само-само-сознанию и т.д.) — к конституированию временности, особенностью которого является субординация (иерархия) его элементов, и, соответственно к конституированию внутренних (временных?) чисел[31].

 

Литература:

1.        Н. Кузанский Об ученом незнании.

2.        И. Шафаревич Основные понятия алгебры. Введение

3.        А.Ф.Лосев Диалектические основы математики //Хаос и структура. — М.: Мысль, 1997

4.        Ж. Делез, Фр. Гваттари Что такое философия?. — СПб.: Алетейя, 1998

5.        Н. Бурбаки Архитектура математики

6.        Г. Фреге Основоположения арифметики (логико-математическое исследование о понятии числа). Томск: изд. «Водолей», 2000

7.        С.Л. Катречко Что такое логика? (http://www.philosophy.ru/library/katr/logic/logic.doc)

8.        А.М. Анисов Современная логика

9.        Н.А. Васильев Логика и металогика.

10.    И. Кант Критика чистого разума (серия «Философское наследие»). — М.: Мысль, 1994.

11.    С.Л. Катречко Математика и опыт. М., 2003 http://www.philosophy.ru/library/katr/math_conf2001.html

11а. К вопросу об «априорности» математического знания. (http://www.philosophy.ru/library/katr/)

11в. Ответ на комментарий П.С. Куслия: Иерархичность математического знания, «счетные числа» Кантора — Фреге и онтологический статус «нуля»

12.    М. Мамардашвили Классический и неклассический идеалы рациональности.

13.    Аристотель Физика, книга 2 (B), гл. 1 //Его же. Сочинения, Т. 3, стр. 82—84

14.    Р. Барт Основы семиологии

15.    Л. Блауштайн Символические представления

16.    С.Л. Катречко Знание как сознательный феномен

17.    М. Хайдеггер Время картины мира //Его же. Время и бытие. — М., Республика, 1993.

18.    Н. Гартмана Новая онтология

19.    А.М. Анисов Типы существования //Вопросы философии, 2001, № 7

20.    С.Л. Катречко Интернет и сознание: пролегомены к концепции виртуального человека

21.    С.Л. Катречко Метафизическая, математическая и виртуальная реальность

22.    Г. Кантор К обоснованию учения о трансфинитных множествах //Его же. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985.

23.    Т. Рибо Болезни личности. Опыт исследования.— М.: АСТ, 2001.

24.    Аристотель О душе //Его же. Сочинения, Т. 1, стр. 82—84

25.    С.Л. Катречко Воображение как «деятельная способность синтеза» (в работе)

 

===  Статьи из предстоящего сборника по философии числа (www.rambler.ru: chislo@rambler.ru (pass):

— В.В. Глебкин Число у Плотина и Августина

— С.Н. Бычков Как числа стали абстрактными?

— А.И. Белоусов Количество