Природа математического доказательства. 'Законы мысли'Буля были "первой книгой когда-либо написанной по математике", -так вполне серьезно Рассел отождествил математику с математической логикой. Такой взгляд полностью отвечает концепции формализма. При этом считается совершенно бесполезной история математики, остается в тени природа математического открытия. Цель книги И.Лакатоса "Опровержения и доказательства" на примере известной те- оремы Эйлера о многогранниках показать насколько творческим является процесс доказательства и к каким важным и разнообразным результатам могут приводить все его этапы - при этом появляется возможность получить представление о раз- витии математики во всех его перипетиях. Постановка задачи. Существует ли соотношение между числом V вершин, числом E ребер и числом F граней правильного многогранника, аналогичное соотношению V=E для многоуголь- ников? Предлагается формула V-E+F=2. В процессе решения задачи можно выделить следующие этапы. 1. Догадка и формулировка теоремы. 2. Доказательство догадки или ее отрицания. 3. Разбиение доказательства на леммы. /У Лакатоса - Анализ доказательства./ 4. Контрпримеры - к теореме или к леммам. 5. Исправление - догадки, анализа доказательства; или другое доказательство. 6. Окончательная формулировка теоремы и ее доказательство. Пункты 3. и 4. могут повторяться. Посмотрим какие бывают контрпримеры, и как от них избавляться. Если контрпример оспаривает теорему, то он называется глобальным; если же контрпример противоречит какой-нибудь из лемм анализа доказательства, то назо- вем его локальным. Таким образом, каждый контрпример можно отнести к одному из трех классов: 1) локальный, но не глобальный; 2) глобальный и локальный; 3) глобальный, но не локальный. От контрпримеров первого типа можно избавиться, исправив анализ доказзтель- ства, то есть уточнив ту лемму, которой этот контрпример противоречит. Как бороться с контрпримерами второго типа? - отбрасывание догадки, - отбросить контрпример, показав ,что на самом деле, он к данной теореме никакого отношения не имеет, поскольку теорема говорит только о "хороших" мно- гогранниках, а тот "монстр" который выставляется в качестве контрпримера хоро- шим никак не является. Спор о том ,что такое "хороший многогранник" вражается различными определениями этого понятия. Метод переопределения понятия, таким образом, чтобы данный глобальный контрпример не удовлетворял новому определению, называется "методом устранения монстров". - исправление догадки; здесь есть два пути: сказать, что данная теорема верна для всех объектов за исключением тех, что указаны в контрпримерах - это метод частичного исключения. Можно резко ограничить множество рассматриваемых теоремой объектов, сузив его до некоторого класса, для которого теорема заве- домо верна, например - в нашем случае - до множества выпуклых многогранников. - это метод стратегического отступления. - исправление монстров; Та же модификация определений, что и в методе ус- транения монстров, только теперь теорема становится верной и для этого случая. /по новому определению то, что раньше гранями не считалось теперь становится гранями многогранника, и теорема на него распространяется./ - включение той леммы, из-за ложности которой становится неверным утвер- ждение теоремы, как условие теоремы. /напр. 'Если x удовлетворяет лемме, то для него верна теорема'/. Рассмотрим теперь контрпримеры третьего типа. Они глобальны, но не локальны. Это происходит потому, что какой-то факт считается очевидным - он называется скрытой леммой - а на самом деле, эта лемма не верна. То есть контрпример яв- ляется также и локальным. Теперь давайте зададимся вопросом о связи торемы и доказательства. Выше мы уже столкнулись с необходимостью включать новые леммы в доказатель- ство, новые условия в теорему - таким образом, содержание теоремы уменьшается ради строгости доказательства. Как с этим бороться? - можно не включать леммы в качестве условий в теорему, а заменить ее дру- гой, которая не опровергается контрпримером - то есть мы меняем анализ доказа- тельства, не изменяя доказательства. - можно предложить принципиально другое доказательство. Тем не менее нет гарантии, что не появится новых контрпримеров, ни в том, ни в другом случае. Провести граничную линию между примерами и контрпримерами можно, сформулировав необходимые и достаточные условия. Это позволит объяснить явление, описываемое первоначальной теоремой в полном объеме. Естественно, в такой постановке задача многократно усложняется, а то и вовсе неразрешима. Зато можно к ее решению приближаться с разных сторон, формулируя разные утверждения и давая им разные доказательства. Утверждения могут не слишком отличаться, и тем не менее все вместе охваиывать значительную часть множества исследуемых объектов. Заметим, что описанные методы борьбы с контрпримерами страдают двумя недостат- ками. Они не гарантируют появления новых контрпримеров, или же исправленное доказательство никак на данный контрпример не опирается. Отвлечемся на мгновение и посмотрим, откуда берется догадка. Догадка может появляться индуктивно, то есть путем наблюдения случаев, выписы- ванием таблиц параметров и угадыванием закономерностей. Догадка может строиться дедуктивно. Переходя от простых случаев к сложным, мы постепенно усложняем утверждение, чтобы оно распространялось на все более об- ширные области. Так же дедуктивно может получиться сама постановка задачи - путем перехода от простых объектов к сложным, но теперь не фиксирована и (постепенно расши- ряющаяся) область объектов, и само утверждение - оно, естественно усложняется. Вернемся к контрпримерам. Дедуктивный метод годится для того, чтобы понять, почему в данном случае теорема неверна, какое свойство данного объекта проти- воречит утверждениям леммы или теоремы. Когда это сделано, становится ясно как НЕОБХОДИМО(не только достаточно) исправить доказательство, анализ д-ва, или догадку. Для приближения к необходимым и достаточным условиям в формулировке теоремы, можно применить дедукцию в обратную сторону. Искать контрпримеры, опираясь на доказательство и на формулировки лемм:"В каких случаях данное утверждение ис- тинно, а в каких ложно?" Как искать эти примеры? Каждое доказательство состоит из импликаций (возможно, в виде скрытых лемм), которые должны быть истинны. Каждая импликация в некоторых случаях может оказаться ложной для целого класса объектов. Следовательно, контрпримеры следует искать в пересечении этих классов, для этих случаев. И чтобы стало лучше понятно, как же Лакатос видит эту тему "природа математического доказательства", в конце своего изложения приведу несколько цитат из его книги. - "Доказательства доказывают не только то, для чего они созданы... Колумб не достиг Индии, но он открыл нечто очень интересное" - "В доказательствах существует бесконечный спуск: поэтому доказательства не доказывают... Доказывание представляет собой игру, в которую играют пока это доставляет удовольствие, и прекращают, когда устанешь." - "Настоящей целью 'задачи на локазательство' должно быть исправление - первоначальной 'наивной' догадки в подлинную 'теорему'." - "Мы не всегда обязательно исправляем доказывая.Доказательства могут исправ- лять, когда их идея открывает в наивной догадке неожиданные аспекты, которые потом появляются в теореме. Но в ЗРЕЛЫХ теориях так может и не быть. Так на- верняка бывает в РАСТУЩИХ теориях. Первичной характеристикой последних являет- ся именно это переплетение открытия и подтверждения, исправления и доказа- тельства. - "Не только опровержения действуют как ферменты для анализа доказательства, но и анализ доказательства может действовать как фермент для опровержения." _ "Окончательное доказательство нашей теоремы - это то, которое объясняет яв- ление эйлеровости в полном объеме.