Катречко С.Л.

К вопросу об «априорности» математического знания

(переработанный вариант текста от 11.12.2001)

 

Введение. Постановка проблемы

Поставленная для обсуждения проблема «математика и опыт» (соотношение априорного и апостеорного в математике) нуждается, в свою очередь, в более тщательной методологической проработке и предполагает, с одной стороны, анализ природы математического знания и его детерминант; а, с другой стороны, уточнение концепта «априорное» и соотношения «априорное vs. апостеорное». Этим и будет определяться структура настоящего анализа. Первая — основная — часть нашего исследования будет посвящена исследованию единства математического знания в контексте его исторического развития. Понятно, что если математика является разнородным(-ой), многокомпонентным(-ой) знанием (деятельностью), то вопрос об его априорности «расщепляется» на ряд вопросов об априорности его важнейших составляющих (структурно-синхронный аспект анализа). Кроме того, если этот — математический — комплекс к тому же эволюционирует во времени (истории), то вопрос об априорности математического знания должен быть уточнен с учетом видоизменения и структурной перестройки этого комплекса в тот или иной исторический период (ср. с «городской» аналогией математического знания Н. Бурбаки), так как может оказаться, что «степень априорности» математики изменяется на протяжении ее истории (диахронный аспект анализа). Поэтому изначальный вопрос должен быть конкретизирован так: об априорности («степени априорности») собственно какой математики идет речь: о геометрии, арифметике или каком-то другом разделе математического знания; какая собственно математика — античная, нововременная или современная — подвергается анализу?

Правда, у методолога (или специалиста по кантовской философии) может возникнуть законный вопрос: разве правомерно говорить о «степени априорности»; не совершена ли здесь методологическая или «категориальная» по Г. Райлу, ошибка? Ведь знание может быть или априорным, или апостеорным, т.е. пара «априорное vs. апостеорное» находится в отношении (строгого) противоречия и о никаком противолежании («перекрещивании») этих понятий, т.е. о «степени априорности—апостеорности», не может быть и речи. Однако именно с этим и будет связано еще одно уточнение исходной постановки проблемы априоризма математического знания. Вторую задачу нашего исследования составляет прояснение соотношения «априорное vs. апостеорное». В рамках этой задачи будет предпринята попытка анализа концепта «априорное», т.е. проведена соответствующая «языковая игра» (Л. Витенштейн) путем сопоставления концепта «априорное» с концептами «формальное», «абстрактное» и «умопостигаемое». Собственно вторая часть нашего исследования будет посвящена анализу типов априорности (тогда исходный вопрос может быть уточнен так: о какой априорности математики идет речь?) и критике, во-первых, «статичности» априорных форм, во-вторых, жесткого противопоставления (отношение противоречия) априорного апостеорному, которое, на наш взгляд, составляет своего рода «третью догму» (ср. с критикой У. Куайна) и должно быть заменено на более мягкое отношение противоположности, которое предполагает наличие промежуточной области априорного—апостеорного. Вместо восходящего к Канту статичного варианта априоризма и жесткого противопоставления «априорное vs. апостеорное» будут предложены модифицированные варианты априоризма.

 

§1. К вопросу о «природе» и «единстве» математического знания

Обсуждение столь общих вопросов, к каковым относятся вопросы о уточнении (1) статуса математики в структуре человеческой деятельности (знания), (2) ее «природы» и наиболее значимых — как «внутренних», так и «внешних» — детерминант, (3) «единства» — однородности — математического знания требует от исследователя повышенного внимания к используемой методологии анализа и, по возможности, ее точной экспликации.

Давайте этим прежде всего и займемся. В качестве отправной точки нашей методологии выбрана известная гегелевская схема: бытие ... — качество ...— сущность. На наш взгляд в этой схеме, пусть в несколько мистифицированной форме, схвачены ключевые моменты любого познавательного процесса, представлены основные этапы — «логика» — развития любого исследования. Поэтому, если представить гегелевский категориальный ряд в качестве методологической схемы—развертывания, а на этом основан наш анализ, то его можно соотнести с основными этапами методологического анализа[1].

Тем самым анализ математической деятельности (математического знания) должен начинаться с фиксации и уточнения предмета исследования (этап «бытия»), после чего выделенный в общих чертах феномен должен пройти методологическую стадию сопоставления с другими сходными феноменами — в нашем случае необходимо сопоставить математику с «физикой» (естествознанием) как нижележащей и «метафизикой» (философией) как вышележащей по отношению к математике практикам (типам знания) — с целью уточнения «бытийного» статуса выделенного феномена и выявление его специфики (этап «качества»), а конечной целью исследования должно быть выявление его «сущности» (природы математики), что соответствует третьему — основному — этапу анализа.

Зафиксировав восходящую к Гегелю методологическую схему в чистом — последовательном — виде будем рассматривать ее как некий идеал, с которым должно считаться методологическое исследование. Понятно, что в ходе реального исследования эта схема полностью не реализуема и выделенные этапы нередко перемешены. Это связано с тем, что проблематика всех трех этапов исследования образует своего герменевтический круг, поскольку существует и обратная детерминация нижележащих этапов вышележащими. Так, например, решение вопроса о специфике предмета исследования (этап «качества») нередко связано с решением (более глубокого) вопроса о «сущности» предмета, а выделение предмета исследования (этап «бытия») может существенно корректироваться с учетом результатов последующих — «качественного» и «сущностного» — этапов. Однако выявление «чистой» методологической схемы обладает определенным эвристическим потенциалом, поскольку указывает на наличие и важность предварительных более описательных этапов анализа — «бытийного» и «качественного» этапов, предшествующих этапу «сущности», — которые исследователь должен в той или иной мере учитывать, ставя вопрос о выявлении природы того или иного феномена.

Кроме этого, отметим следующую особенность нашего анализа, которая заключается в том, что это анализ не собственно математической деятельности, а представлений о «природе» математики, данный современниками той или иной исторической эпохи (как правило, крупными математиками, или философами, взгляды которых были достаточно авторитетны для современников, в том числе и для работающих математиков соответствующего исторического периода).

Опыт философствования XX века показывает, что нередко серьезные трудности поджидают исследователя уже на первом — «бытийном» — этапе анализа и связаны с тем, что предмет исследования как правило дается не чистым, а искаженным — в виде «превращенной формы» (М. Мамардашвили) — образом, т.е. как исторически сложившееся культурное кентаврическое сцепление, требующее значительных усилий по своему «очищению» (ср. с процедурами «деструкции» М. Хайдеггера, или «деконструкции» Ж. Деррида). В частности, как показал М. Фуко, одним из распространенных искажений — «сцеплений» — такого рода является «ошибка непрерывной хронологии», когда имеет место невольное заполнение «разрывов», имеющихся между различными, хотя и близкими историческими феноменами, с целью «торжества непрерывного ряда событий» [2, стр. 12] и постулируемого псевдоединства, вместо тщательного анализа имеющихся в реальной истории «дискретных» серий[2].

Следуя критическому настрою М. Фуко сформулируем следующую метаметодологическую дилемму, развернутую уже не в диахронно—историческом (как у Фуко), а в синхронно-структурном аспекте[3]: является ли математика некоторым целостным феноменом или представляет собой некоторое кентаврическое сцепление близких по духу, но все же различных практик; можем ли мы говорить об едином феномене математики на протяжении длительного периода человеческой истории или мы имеем дело с некоторой «серией» математических практик, (слабо) связанных между собой (например, отношением «семейного сходства» (Л. Витгенштейн[4]))?

Формулировка этой дилеммы и обсуждение ее возможных решений тем более уместны, поскольку в обыденном мышлении (и даже у ряда авторов данного сборника) прочно господствует взгляд на математику как на некий единый корпус (текстов), основа которого начала формироваться в античности и была продолжена в Новое время, то время как одна из исходных — следуя Фуко — интенций нашего анализа заключается в том, чтобы подвергнуть испытанию на прочность данное культурологическое (псевдо?)единство.

Итак первый вопрос, стоящий перед нами, сформулируем так: является математика единой гомогенной наукой или в ее составе можно выделить ряд разнородных — сходных, но все же различающихся — практик, и прежде всего (1) «геометрию» (топологию) и (2) «алгебру» как два основных «способа понимания в математике» (Г. Вейль, [4]), как два концептуальных «ядра», конституирующих два разных математических комплекса ошибочно принимаемых за единую математику?

Выбранное нами различение в составе математического знания отнюдь не случайно или произвольно, а хорошо осознается уже в самом начале развития математического знания (об этом подробнее см. ниже) и проходит красной нитью через всю ее историю вплоть до XX века (см., например, уже упомянутую выше работу Г. Вейля)[5]. Новизна же нашей постановки проблемы в том, что мы предполагаем возможное «усиление» этого различия до противоположности и вопрошаем о том, не является ли указанное различие «точкой разрыва» единого математического комплекса и не следует ли «расщепить» его на два, что, соответственно, приводит и к «расщеплению» поставленного в начале вопроса о природе единого математического знания, по крайней мере, уже на два вопроса:

1.      о природе и детерминантах «геометрического» (топологического) математического комплекса и, соответственно, об априоризме—апостеоризме уже этого «комплекса»;

2.      о природе и детерминантах (об априоризме—апостеоризме) «арифметического» (алгебраического) математического комплекса.

Поэтому имеет смысл немного задержаться на указанном различении между «геометрией» и «арифметикой» и более точно выявить его статус и основания.

Достаточно четко это различие фиксируется одним из крупнейших математиков XX века Г. Вейлем [4]:

«Центральное понятие [математики — К.С.] действительного числа позволяет сразу объяснить, чем это вызвано. Система действительного числа подобна двуликому Янусу: с одной стороны — это совокупность <das Field> алгебраических операций + и – и им обратных, с другой — континуальное однообразие, части которого связаны друг с другом непрерывно. Первый лик чисел алгебраический, второй топологический» [4, стр. 26];

«Может быть, теперь мы немного лучше поймем отношение между двумя [алгебраическим и топологическим — К.С.] методами… В топологии начинают с непрерывной связи как самого изначального и лишь постепенно, в ходе спецификации, вводят те или иные структурные моменты; в алгебре же, наоборот, исходным пунктом математического мышления выступают операции [над дискретными элементами (NB) — К.С.], а непрерывность (или ее алгебраический суррогат) вводится лишь на заключительном этапе спецификации» [4, стр. 34].

Если же учесть ключевое для Г. Вейля понимание математики как «работы с бесконечностью»: «Эта интуиция возможности «всегда увеличить на единицу» — открытой счетной бесконечности — лежит в основе всей математике» ([5, стр. 13]; см. также мою работу «Бесконечность и теория поиска вывода» [6]), то можно представить следующую схему взаимодействия двух — выделенных ранее «геометрического» и «арифметического» — математических комплексов. Центральным, лежащем в середине и в силу этого единящим две разнородных практики, концептом математики является понятие бесконечности[6]. «Геометрия» и «арифметика» выступают, согласно Вейлю, как два противоположных способа ухватывания бесконечности. Если «геометрия» (топология) начинает свою деятельность, постулируя бесконечность как непрерывность (континуальность), которую потом, путем разбиения, пытается «ухватить» в своих конструкциях, то «арифметический» (алгебраический) путь — это операциональное (алгоритмическое) построение дискретной «бесконечности» (множественности) из первоначально данной «единицы». Т.е. «геометрия» и «арифметика» находятся, если ввести своеобразную иерархическую шкалу, как бы по разные стороны от «бесконечности»: первая из них начинает свой путь «вверх» от нее к «числу», пытаясь «разложить» исходную континуальность, а вторая, находясь «выше» ее, спускаясь пытается сконструировать бесконечность путем «суммирования» исходных конечных дискретностей.

Оказывается, что сформулированная выше, восходящая к Вейлю, концепция «двухцентровой» природы математики восходит к античному — платоно-пифагорейскому — пониманию эпистемологического статуса математического знания. Ее суть — в достаточно четком (онтолого-эпистемологическом) иерархическом различении двух математических практик (арифметики и геометрии), несмотря на то, что обе они онтологически находятся как бы в «невещественном промежуточном мире» (Прокл) между идеальным (априорным) миром идей и эмпирическим (апостеорным) миром вещей[7]. Вот как это различие — на онтологическом уровне — фиксируется Проклом в его комментарии к книге «Начал» Евклида:

«И пусть геометр утверждает, что если данные четыре величины (NB геометрия «работает» с величинами — К.С.) пропорциональны, то существует и обратная пропорция, и пусть доказывает это, опираясь на начала своей науки (выделено мной — К.С.); арифметик к ним обратиться не может, но пусть и он утверждает, что если данные четыре числа (NB! арифметика , в отличие от геометрии, «работает» с числами — К.С.) пропорциональны, то существует и обратная пропорция, и доказывает это исходя из начал своей науки» [7, стр. 53—55];

«Поэтому, кстати, мы не требуем от всей математической науки одинаковой точности: ведь если одна ее часть так или иначе соприкасается с чувственно воспринимаемым (геометрия — К.С.), а знанию (арифметике — К.С.) другой принадлежит умопостигаемое, не могут обе быть точными, но одна — точнее другой» [7, стр. 103];

«Так вот, если исходить из точности, то арифметика точнее геометрии, потому что ее начала отличаются простотой: монада лишена положения, а точка имеет положение, и точка, когда она получила положение, является началом геометрии, а начало арифметики — монада» [7, стр. 153].

Соответственно, различие в эпистемологическом статусе между геометрией и арифметикой заключается в том, они реализуются с помощью различных познавательных способностей. Согласно Платону арифметика как изучающая умопостигаемые (интеллигибельные) числа (монады) подпадает под власть ума—разума (ноэзиса), в то время как геометрия изучающая материально-интеллигибельные, или интеллигибельно-материальные (=пространственные; в античности (у Платона) пространство (хора) выступает как особая интеллигибельная материя) фигуры является предметом мысли низшей по отношению к ноэзису способности ума-рассудка (диаонойи). Прокл же, особо обсуждая статус уже геометрии в своем втором введении [7, стр. 128—197], еще больше понижает эпистемологический статус геометрии по отношению к арифметике, т.к. познавательной способностью геометрии является уже не низшая часть ума (как это было у Платона), а воображение, которое занимает еще более низкое — промежуточное — положение между умом и чувственностью[8]:

Попробуем явно сформулировать античную парадигму математики. Математика является условно-единым (квази)комплексом, в составе которого можно выделить две разнородные — как в онтологическом, так и в эпистемологическом плане — практики: «геометрию», как практику работы с непрерывными величинами, и «арифметику», как практику работы с дискретными числами. С «внешней» точки зрения математическое знание — как единый комплекс — занимает срединное положение между «физикой» и «метафизикой»; «внутри» же математики «арифметика» занимает более высокое по отношению к «геометрии» «положение», т.е. является более «метафизической» составляющей математического комплекса. Соотношение между античными геометрией и арифметикой можно трактовать как двухуровневое строение математического знания: геометрия соответствует нижнему — «квазиэмпирическому» — менее абстрактному (и более содержательному) уровню, в то время как арифметика соотносится с более абстрактным (формальным) уровнем математического знания, что в области естествознания аналогично уровню «теоретической науки». В соответствие с этим различением между арифметикой и геометрией можно предложить «античное» решение вопроса о априорности — апостеорности математики: если арифметика тяготеет к априорному, умопостигаемому знанию и сродни метафизике (философии), то геометрия тяготеет к апостеорному (эмпирическому) естествознанию (механике, астрономии, оптике, геодезии etc).

Кроме этого можно предложить общий «механизм» развития математической парадигмы. Модификация античной парадигмы возможна по двум «параметрам» (соответственно, есть две детерминанты развития математического знания). С одной стороны, возможно варьирование всего математического квазикомплекса в целом по шкале «метафизика — физика», и тогда можно говорить о большей или меньшей абстрактности (априорности) — эмпиричности математики в целом, той или иной степени сходства математики с «физикой» или «метафизикой» («внешняя» детерминация)[9]. С другой стороны, возможна «внутренняя» флуктуация (перестройка, модификация) математического знания в сторону одного из двух выделенных нами «центров»: арифметики или геометрии, т.е. «чередование» арифметических и геометрических «всплесков» уже внутри той или иной математической парадигмы. Причем, что является третьим важным моментом предлагаемого нами подхода, в ходе развития математического знания, в силу относительной независимости «внешних» и «внутренних» детерминант, возможно как совпадение, так и несовпадение «векторов» их развития, что усложняет решение вопроса о статусе математики и степени его абстрактности, априорности etc: например, при «внешней» тенденции к сращению математики с «физикой», что снижает степень ее априорности, тенденция математики к арифметизации приводит к возрастанию степени ее абстрактности в составе физико-эмпирического комплекса знания.

С этих позиций обратимся теперь к анализу (развития) математической парадигмы знания в последующие эпохи. Принципиально иное решение о статусе математического знания (с учетом «внешних» и «внутренних» факторов) мы находим в Новое время, когда, как уже отмечалось выше, и был «создан» собственно тот единый культурологический комплекс «математика» — нововременная парадигма математики, сохранившая свое влияние и в наши дни. Специфицирующей чертой этой парадигмы является нивелирование различий между геометрией и арифметикой, сближение этих разнородных познавательных практик в составе универсальной «всеобщей математики» (mathesis universalis), что связано, прежде всего, с фигурой Декарта, которому за счет алгебраизации геометрии — создания аналитической геометрии — удалось концептуально срастить арифметику и геометрию в единую науку[10]. Именно с этой фигуры начинается формирование новой парадигмы «единой» математики. Однако в процессе ее формирования и модификации не только этот — «внутренний» — фактор является решающим. С одной стороны, при отмеченном выше «подтягивании» геометрии до алгебры («внутренняя») абстрактность математического комплекса усиливается и происходит повышение ее эпистемологического статуса по отношению к «физике»: математика занимает место как бы «прикладной метафизики», т.е. она расположена «выше» (физической) науки, поскольку — как говорил ближайший предшественник Декарта, Галилей — вся природа написана на языке математики. С другой стороны, в Новое время существенно снижается общий («внешний») онтологический статус математического знания, поскольку происходит отождествление пространства геометрического (античной интеллигибельной материи) и пространства физического (чувственно данной, телесной материи)[11]. Т.е. наблюдается общий «дрейф» от «метафизике» к «физике». Здесь, например, достаточно показателен термин «натурфилософия» из основополагающей работы И. Ньютона, которая, не смотря на название, никакого отношения к «метафизике» не имеет; или провозглашенный чуть позже О. Контом переход от стадии метафизики к стадии позитивной науки.

Пропуская ряд ключевых фигур, остановимся чуть более подробно на взглядах на природу математического знания И. Канта, который завершает разработку эпистемологического аспекта формирования единого нововременного математического комплекса (XVI — XVII вв.). Речь идет о том, что Кант находит для «алгебры» и «геометрии» единое эпистемологическое — трансцендентальное — основание, и находит его в области чувственности. Возможность геометрии «выводится» из априорной формы чувственности — пространства, а в основании арифметики лежит другая априорная форма чувственности — время[12].

Обратим внимание на три принципиальных момента, проясняющих суть кантовского переосмысления природы математического знания. Во-первых, Кант существенно снижает «внутренний» статус математического знания, помещая ее на «шкале» познавательных способностей даже ниже (теоретической) «физики», которая работает на уровне рассудка. В этом смысле математика оказывается даже более эмпиричной (апостеорной), чем надстраивающаяся над чувственно-математическом базисом теоретико-рассудочное естествознание и занимает самый низший эпистемологический статус теоретического знания[13].

Во-вторых, эпистемологическим (а не только онтологическим) базисом объединения математики выступает уже не более интеллигибельная «алгебра», как это было у Декарта, а чувственноподобная «геометрия». Основаниями (историческими) для совершенной Кантом (в концептуальном — эпистемологическом — плане) «геометризации» математики служат: во-первых, как это не парадоксально звучит с учетом совершенной Декартом алгебраизации геометрии, общая метафизическая концепция Декарта — введение им (геометризированной!) «субстанции протяженной» (что указывает на специфику нововременной алгебраизации математики, если ее рассматривать не с внутриматематической, а с внешней — общефилософской — точки зрения); во-вторых, ньютоновская концепция абсолютного пространства и времени (ср. кантовскими априорными созерцаниями), которые представляет собой как бы субстанциональный фон (последующего) «телесного» мира. Суть же нововременной, завершенной Кантом, «внешней» концептуальной — в отличие от внутриматематической алгебраизации — «геометризации» математики заключается в том, что время, по аналогии с пространством, рассматривается как (априорное чувственное) созерцание, т.е. как некоторая «статическая» — квазипространственная — данность, или как некоторая объемлющая вещи «среда» (= аналог ньютоновского абсолютного пространства), из которой исключается существенный для природы времени «динамический» — «событийный» — аспект. Обобщая, это можно назвать феноменом опространствливания времени, что в последующем (в XX веке), с одной стороны, послужило концептуальной базой для собственно физических теорий (например, для распространенной сейчас геометрической интерпретации теории относительности, где время рассматривается как одно из квазипространственных измерений в рамках единого пространственно-временного континуума), а, с другой стороны, такое рассудочно-статическое опространствливание времени вызвало резкую критику у ряда мыслителей ХХ в. (см. например, работы Э. Гуссерля, М. Хайдеггера и А. Бергсона).

В-третьих, это противоположная первым двум тенденция повышения «метафизического» статуса математики концепция априорности пространства и времени, связанная с так называемым «коперниканским переворотом» Канта, что отчасти возрождает античное понимание «промежуточного» — между миром «вещей» и миром «идей» — статуса математического знания. При более детальном сопоставлении античной (пифагоро-платона-аристотелевской) и кантовской концепции математики (числа) можно обратить внимание на следующее. Во-первых, как это уже отмечалось выше, Кант исключает категории пространства и времени из числа рассудочных категорий (соответственно, математику из области «ума», развивая концепцию Прокла), хотя против этого, особенно по поводу категории времени, есть весьма веские основания. Дело в том, что в основе построения (рассудочной) категориальной сетки Канта лежит анализ суждений («все действия рассудка мы можем свести к суждениям», а «понятия же относятся к как предикаты возможных суждений», то «…все функции рассудка можно найти, если полностью показать функции единства в суждениях» [7, стр. 80; см. также анализ «категориальной сетки» Канта и ее сравнение с подходом Аристотеля в работе Г. Райла [8]), и Кант выделяет такую характеристику суждений как (алетическую) модальность. Алетические модальности же, как это известно было уже в античности (анализ высказываний о будущих событиях Аристотеля, построения Диодора) тесно связаны с категорией времени: «возможность» можно соотнести с «будущим», а «необходимость» — с настоящим. Поэтому вполне возможно рассматривать «время», не как априорную форму чувственности, а как своеобразную рассудочную — модальную — категорию[14]. Во-вторых, обратной стороной такого понижения эпистемологического статуса математики является существенное переосмысление базового концепта математики — понятия числа. Кант тесно увязывает категории «числа» и «времени» через понятие «числового ряда». В этом смысле Кант рассматривает не число как таковое, а лишь порядковые числа, или числовой ряд, основывающийся на априорном созерцании времени (время является трансцендентальным основанием числовой рядоположенности). Тем самым Кант исключает из античного числа как единства предела и беспредельного ее первую — собственно «метафизическую» — составляющую: понятие «единицы», лежащего в основании числа.

Таким образом, концепция математического априоризма Канта[15] представляет собой (при некоторых оговорках, которые были сделаны выше) промежуточный вариант — между сверх-априоризмом (умопостигаемостью) античности и эмпиризмом Нового времени — понимания природы и статуса математического знания.

Для иллюстрации современных — посткантовских — изменений в понимании природы и статуса математического знания кратко остановимся на анализе взглядов Г. Кантора и Г. Фреге. Наша задача заключается в том, чтобы на примере воззрений этих мыслителей на природу числа показать тенденцию — отчасти анти-кантианскую, отчасти анти-нововременную в целом — к повышению «метафизичности» математики. Надо сразу же оговориться, что оба указанных мыслителя работают в области «арифметики», которая занимает более «высокий» внутриматематический априорный статус, и это несколько сужает индуктивную базу наших обобщений на развитие математического знания в целом, но тем не менее анализ их концептуальных воззрений на природу числа достаточно показателен и характеризует существенное изменение, произошедшие с парадигмой «единой математики» в конце XIX — первой половине XX веков [16].

Начнем с анализа взглядов Г. Кантора. Остановимся более внимательно на его революционном в концептуальном отношении понятии «кардинального числа». Вот канторовское определение: «”мощностью” или «кардинальным числом» множества М мы называем то общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из М, когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов m и от порядка их задания» [10, с. 173]. Результат этой двойной абстракции Кантор обозначает как //М (двойная черта указывает на двойное абстрагирование). Из приведенного определения видно, что канторовское концептуальное переосмысления понятия числа заключается в введении мета-абстрактных объектов «кардинальных чисел» (мета-чисел), которые выступают как результат (вторичного) абстрагирования от обычных — порядковых — чисел, являющихся, в свою очередь, результатом первичного абстрагирования от «качественной» определенности предметов реального мира. Понятно, что это огромный шаг вперед по сравнению «порядковым» («временным») пониманием числа у Канта. Более того этот шаг не только возрождает «метафизическое» понимание математического знания в античности, но и в определенном отношении развивает ее еще дальше. Точнее здесь происходит возрождение самого крайнего пифагоро-платоновского — в противовес аристотелевскому квазиэмпиризму — априоризма античности, поскольку в концептуальном (категориальном) отношении канторовское «кардинальное число» находится «выше» (на шкале умопостигаемости) аристотелевской категории «количества». Т.е. статус канторовской теории множеств, на которой базируется вся остальная математика, не просто формален, как отвлечение от «качественных» особенностей вещей (математика 1 уровня — «квазиэмпирическая математика»), но и мета-формален (математика 2 уровня — мета-математика), поскольку здесь происходит вторая, более «метафизическая», абстракция от категории «порядкового количества». Тем самым в канторовском понятии «кардинального числа» содержится принципиальная возможность для конституирования новой, более абстрактной (т.е. более априорной) математики, математики второго уровня, или «мета-математики» (в широком смысле этого слова). В последующем развитии математики ХХ в. было реализовано несколько проектов канторовского метаматематического подхода: во-первых, это «формализм» (теория доказательств) Д. Гильберта (метаматематика в узком смысле); во-вторых, «логицизм» Б. Рассела («логика» как априорный и более «метафизический» базис математики); в-третьих, «структурализм» Н. Бурбаки (математика изучает не «структуры» физического мира, а «работает» с мета-структурами, т.е. с абстракциями второго уровня — математическими структурами). Вместе с тем необходимо отметить и наличие определенного противовеса этой слишком уж «метафизической» тенденции в развитии математики, а именно: формирование интуиционизма как более эмпирической — «чувственной» по Канту — в эпистемологическом отношении концепции математической деятельности. Однако и в этом случае можно говорить о повышении степени априорности математики, т.к. и для интуиционистов базовой интуицией математической деятельности является более умопостигаемая —«арифметическая» — интуиция «счетного ряда» (см., например, цитированные выше фрагменты из работ Г. Вейля).

Более развернутая в концептуальном плане — и в чем-то даже более радикальная в своей «метафизической» тенденции — концепция числа принадлежит Г. Фреге. Покажем это на примере анализа его фундаментальной работы «Основоположения арифметики (логико-математическое исследование о природе числа)» [11], которая определенным образом учитывает и «метафизические» достижения канторовской мысли об абстрактном статусе (канторовских) «бесконечных чисел». Прежде всего, Фреге убедительно показывает (в частности, критикуя за это и Кантора[17]), что число не может быть свойством «внешних» вещей наподобие понятия цвета, твердости, тяжести etc и не может получаться путем абстрагирования из предметов, и, тем самым, он опровергает тезис о математике как опытной науке (см. [11], гл. «Является ли число свойством внешних предметов?»). С другой стороны, число, в отличие от Канта, не может быть чем-то субъективным, т.е. «внутренним» представлением (см. [11], гл. «Является ли число чем-то субъективным?»). Поэтому оно должно быть «нечувственным и объективным» [11, стр. 57], т.е. занимать какое-то промежуточное положение между «внешними» вещами и «внутренними» представлениями (ср. с античным — платоновским — решением о промежуточном онтологическом статусе математических (геометрических) объектов). В этом отношении «числа» должны быть подобны предикатам, если мы понимаем их (предикаты) в платоновском смысле как «идеи» (=свойства) вещей. Однако «число» — на примере «единицы» — по своему статусу отличается и от «реальных» предикатов (т.е. является специфическим, несодержательным (мета)предикатом). Вот как Фреге фиксирует это различие: «Если бы «один человек» понимался наподобие «мудрый человек», то следовало бы думать, что «один» может использоваться как предикат, поэтому также как «Солон был мудрый» можно было бы сказать «Солон был один»…Но само по себе «один» не может быть предикатом [в тексте Фреге здесь стоит сноска, которую мы опускаем, но заменяем ее своим разъяснением[18] — К.С.]. Еще яснее это проявляется при множественном числе. Тогда как «Солон был мудрый» и «Фалес был мудрый» можно скомбинировать «Солон и Фалес были мудрые», нельзя сказать «Солон и Фалес были один» [11, стр. 58—59]. Далее Фреге, ссылаясь на Баумана и Ст. Джевонса, делает еще один шаг, принципиальный для нас в связи с предшествующим изложением кантовской позиции на природу математики, когда подчеркивает независимость числа от времени (пространства) в связи с возможной применимостью «числа к непространственному и невременному» [11, стр. 71]. Таким образом, последовательно отвергая различные «узкие» (по логическому объему) понимания числа: эмпиристское абстрагирование от предметов (неправомерное сходство числа с качественными признаками предметов — математика как опытная наука); априористское (неправомерное) отождествление числа с пространственно-временными характеристиками существования предметов; восходящее к Платону (неправомерное) неразличение числовых и содержательных предикатов — Фреге приходит к пониманию числа как чистого «количества»[19]. Суть фрегевского подхода заключается в том, что число является не реальным предикатом (предикатом первого уровня), а предикатом второго уровня, метапредикатом; число является (количественной) характеристикой не предметов как таковых, а характеристикой понятий (о предметах), или, говоря другими словами, характеристикой «неопределенных [абстрактных — К.С.] предметов»: «число приложимо только к понятию [а не к предмету!; выделено мной — К.С.], под которое подводится внешнее и внутреннее, пространственное и временное, непространственное и невременное» [11, стр. 77]. Здесь же он приводит ключевые для уяснения его позиции слова Б. Спинозы: «Я отвечаю, что вещь может называться единой или единственной [т.е. «принимать» числовые — количественные — характеристики — К.С.] лишь по отношению к своему существованию, а не по отношению к своей сущности, ибо мы мыслим вещи под [категорией] числа только после того, как они подведены под некоторый общий род [т.е. когда рассматриваются не сами по себе в своем физическом модусе существования, а как «родовые», т.е. как «логические», или абстрактные, объекты; выделено мной — К.С.]» [11, стр. 78—79]. Обратим внимание на корреляцию категорий «существования» («бытия») и «числа» в этом отрывке. Чуть ниже Фреге эту коррелятивную связь несколько расшифровывает: «В этом отношении существование [предикат существования — К.С.] имеет сходство с числом [с предикатом числа — К.С.]. Ведь утверждение существования есть ничто иное, как отрицание числа ноль [cоответственно, полагание числа один в частном случае, когда мы говорим «Сократ» (неявно приписывая ему мета-предикат «есть» («существует») равный числовому метапредикату «один») — К.С.]», поскольку Фреге различает признаки предметов и свойства (метапризнаки) понятий (признак vs. свойство!): например, «…прочность, вместительность, удобство [понятия] дома не могут применяться при его строительстве, наряду с камнями, строительным раствором и бревнами» [11, стр. 80]. Т.е. Фреге сближает основополагающее для арифметики понятие «числа» с основополагающим метафизическим понятием «бытия» и, тем самым, приравнивает эпистемологический — априорный — статус математики (арифметики) статусу метафизики (ср. с кантовским пониманием «бытия» как отличного от «реального», т.е. «содержательного», предиката).

Подводя итог рассмотрению взглядов Фреге, можно сказать, что он обосновал возможность математики как метанауки, исследующей не свойства (эмпирических) предметов, а признаки умопостигаемых понятий о предметах. В этом смысле математика, вернее ее «арифметический» комплекс, является метатеоретической — априорной! — дисциплиной по сравнению с «содержательными» теоретическими дисциплинам типа физики, химии.., или, как принято говорить, математика является не содержательной, а «формальной» дисциплиной, что роднит ее с (формальной) логикой и метафизикой (как учением о (платоновских) «формах»). В середине XX века фрегевское понимание математики (в качестве метанауки) получил развитие в работах Н. Бурбаки, которые рассматривали математику как (мета)науку о (мета)свойствах «математических структур», которые, в свою очередь, могут рассматриваться как канторовские «количественные» абстракции первого уровня (ср. с понятием «кардинального числа» Г. Кантора — см. об этом выше).

Таким образом, в работах Г. Кантора и Г. Фреге (а позже и у Н. Бурбаки) было показано (обосновано), что математика является неоднородным иерархизированным комплексом знания, многослойной дисциплиной. Помимо «эмпирического» слоя математического знания, связанного с количественно-порядковой характеристикой предметов (абстрагирование от «качественной» определенности предметов), возможна априористская математика второго — «теоретического» — уровня (метауровня), которая изучает более высокие абстракции: «надпорядковые» структуры («кардинальные числа» Кантора) и/или «неопределенные предметы» — понятия (Фреге).

 

§2. К вопросу о типах «априорного». Варианты априоризма: концепции динамического априоризма и эпистемологического гилеоморфизма

Если первая часть нашего исследования проходила под знаком вопроса «Об априорности какой математики — например, античной геометрии, новоевропейской алгебры или разделов современной, основанной на теоретико-множественном базисе, математики — идет речь?», то теперь впору задаться еще одним вопросом: а о какой (каком типе) априорности (математики) идет речь?

Сначала буквально несколько слов об истории этого термина (концепта[20]). Впервые термин «априорное» (противопоставление «априорное vs. апостеорное») появляется в работах Декарта — Лейбница и связан с концепцией «врожденных идей». В этом смысле предыстория концепта восходит платоновской концепции анамнезиса, которая в процессе познания припоминает (априорные) не-чувственнные «идеи». В более развитом виде концепт априорного получает проработку у Лейбница, который выделяет особый класс истин — так называемые «истины разума», основанные на законе непротиворечия. Тем самым априорное у Лейбница — это аналитически-умопостигаемое. Существенное переосмысление лейбницевского понимания «априорного» происходит у Канта. Во-первых, он освобождает «априорное» от «содержания»: априорной является уже не некоторая содержательная идея, например, идея «числа», а пустая (априорная) «форма», которая «оформляет» поступающее «извне», через наши органы чувств апостеорное, т.е. опытно-чувственнное «содержание»[21]; во-вторых, Кант вводит различение между парой «априорное vs. апостеорное» и парой «аналитическое vs. синтетическое», отсутствующее у Лейбница, т.е. показывает неправомерность прямого лейбницевского отождествление априорного и аналитического и сосредотачивает свой анализ (например, в КЧР) на отсутствующую у Лейбница категории синтетического a priori. В дальнейшей истории философии закрепилось кантовская трактовка априорного, причем как правило под априорным стало пониматься , во-первых, именно синтетическое a priori, а, во-вторых, именно кантовский набор «априорных форм».

Наша задача — подвергнуть концепт «априорное» более тщательному анализу и показать не единственность кантовского решения и возможность отличных от кантовского решения вариантов.

Во-первых, необходимо проанализировать какие «составляющие» можно выделить в концепте «априорное», т.е. какие понятия образуют его семантическое, или смысловое, поле. Прежде всего, (кантовское) «априорное» тесно связано с понятием «формы»: априорным является не-содержательное, а формальное. Интересно отметить, что в самом начале своей КЧР Кант формулирует эпистемологическое — отличное от античного (платоновского) онтологического — «учение о материи и форме»: «то в явлении, что соответствует ощущением, я называю его материей, а то, благодаря чему многообразное в явлении может быть упорядочено определенным образом я называю формой явления», причем «материя всех явлений дана нам только a posteriori, [а] форма их целиком должна для них находиться готовой в нашей душе a priori» [14, стр. 48]. Тем самым «априорное» является «абстрактным» (хотя и не полученным, по Канту, в результате операции абстрагирования от содержательно-эмпирически-чувственного), или «умопостигаемым». Таким образом, концепт «априорное» обладает сложной составной структурой, которая в первом приближении может быть выражена таким сложным термином как «абстрактно—формально—умопостигаемое», а его смысловым ядром является «формальность»: кантовское априорное — это, прежде всего, формальное.

Кантовское противопоставление «апостеорное vs. априорное» и как противопоставление «физического» и «метафизического» неявно приписывает и еще одну характеристику априорного. Априорное — это нечто статичное, неизменное, раз и навсегда данное (что и фиксируется в понятии «форма»), в то время как апостеорное (знание) подвержено изменению. Тем самым Кант рассматривает априорные формы как метафизические сущности и не допускает их диалектического изменения, т.е. саморазвития (понятий) в гегелевском смысле.

Во-вторых, Кант выделяет всего лишь две априорные «формы», имеющие отношение к математике: «пространство», лежащее в основании «геометрии», и «время», лежащее в основании «арифметики». Как уже было отмечено выше, здесь Кант опирается на декарто-ньютоновское «наследие»: прежде всего, на декартову «субстанцию протяженную» и на ньютоновские понятия «абсолютного пространства» и «абсолютного времени». Однако более значимым в данном случае является интеллектуальное наследие («ходы мысли») Декарта, который, решая проблему первичных—вторичных качеств, предложил самый радикальный (и «формальный») подход, редуцировав все «вторичные» качества к единственному «первичному» качеству, т.е. к единственной «внешней» форме «общего чувства» (Лейбниц[22]), — «пространству». Сходным образом Кант, все явления «внутреннего мира» (декартовской «субстанции мыслящей») упорядочивает единственной формой «внутреннего чувства» — «временем». Причем подход Канта хорошо согласуется с «двухцентровой» — арифметико-геометрической — моделью математического знания.

В-третьих, Кант жестко противопоставляет «априорное» и «апостеорное» (см. п. 1 выше), т.е. призывает мыслить «априорное» как «абсолютно априорное», или «чистое априорное», «безусловно независимое от всякого опыта» [14, стр. 33], хотя и допускает в «локальном» познавательном акте «относительное априорное», т.е. такое «априорное», которое является до-опытным относительно данного опыта. В частности в «введении» к КЧР [14, стр. 32] он приводит пример с «подрыванием фундамента дома», в рамках которого говорит об относительно-опытном a priori, т.е. предшествующем этому непосредственному «опыту» подкапывания фундамента «знании» о том, что дом рухнет.

В-четвертых, Кант различает в области априорного три типа, которые образуют своеобразную иерархию. Во-первых, это априорные «формы» чувственности; во-вторых, это следующая, более высокая ступень, априорного —«категории» рассудка; в-третьих, высший тип этой иерархии априорного — «идеи» разума. Однако тему гетерогенности области априорного (критерий различении разных типов априорного) Кант практически не развивает, ограничившись констатацией их функционального различия в процессе познания.

Попробуем, критически опираясь на кантовское наследие, наметить наиболее перспективные пути развития современной концепции математического априоризма.

Во-первых, оставаясь в рамках кантовского априоризма, можно поставить вопрос о количестве априорных математических форм. Как уже отмечалось выше, Кант выделяет всего лишь две априорные формы, что хорошо было согласовано с господствующей в то время «двухцентровой» моделью математического знания. Однако в настоящее время в составе математического знания выделяются гораздо больше составных частей. Как быть, например, с третьим основным типом математической структуры — «структурами порядка» (Н. Бурбаки), которые не могут быть редуцированы к геометрико-топологическим и арифметико-алгебраическим структурам[23]? Более серьезная проблема возникает, если в составе математической деятельности выделяется не просто «статические» структуры, которые в общем можно трактовать как аналог (или обобщение) кантовского понятия «формы», а «динамические» составляющие, связанные, прежде всего, с алгоритмической деятельностью, или «алгеброй» как таковой. В настоящее время вычислительная математика является одним из господствующих разделов математической деятельности, но какой тип априорного ему соответствует? Определенный ответ на этот вопрос содержится в кантовском учении о схематизме, но статус «алгебраической» составляющей требует своего тщательного продумывания в свете априоризма.

Во-вторых, необходимо существенная корректировка взглядов Кант о соотношении математики и естествознания с точки зрения «априорности» (абстрактности, формальности) этих типов знания. Решение, предложенное Кантом, когда математика относится к «трансцендентальной эстетике», а «физика» — к «трансцендентальной логике» явно не согласуется с современным пониманием о соотношении математики и физики. Если математика является более «абстрактной» — «не-естественной» по меткому замечанию С. Капицы — наукой, то тогда статус математических — чувственных по Канту — «априорных форм» должен быть «выше», чем статус физических — рассудочно-категориальных по Канту — «априорных форм». Выше уже отмечалось, что Кант не отрицает возможность рассудочных категорий пространства и времени, которые соответствуют более абстрактному (априорному) статусу математического знания, хотя сам этот подход не развивает. Приводимые выше концепции числа Кантора и Фреге показывают, что степень абстрактности математики достаточно высока и, по крайней мере, не ниже, чем степень абстрактности естествознания. А это значит, что в основе аподиктического математического знания должны лежать достаточно высокоуровневые априорные формы. Например в современной математике исследуются n-мерные пространства, которые явно не представимы на уровне чувственных созерцаний. Поэтому в основе подобных разделов математики лежат уже отнюдь не чувственные, а рассудочные категории (в нашем примере, категория абстрактного пространства). Поэтому кантовский анализ трансцендентальных оснований математического знания в настоящее время должен быть, по крайней мере, дополнен. Например, это можно сделать за счет выделения в составе математического знания двух уровней условно соответствующих «эмпирическому» и «теоретическому» уровням в естествознании: первичная математическая практика рассматриваемая Кантом может быть соотнесена с чувственными априорными формами пространства и времени, а более абстрактные разделы современной математики — с априорными формами — категориями — рассудка.

В-третьих — и это, на наш взгляд, одно из самых существенных упущений кантовского подхода в целом, о котором мы уже говорили выше — кантовский априоризм не решает проблемы «происхождения» априорных форм и механизмов их образования: кантовские априорные формы всех типов статичны и неизменны, т.е. просто постулируется как данные, а их набор хорошо согласован с имеющейся во времена Канта структурой научного знания (в этом смысле кантовские «критики» точно соответствуют своему названию, так как не предлагают что-либо новое, а критически переосмысляют и обосновывают то, что есть в рамках «позитивного» знания). В настоящее время, время господства «позитивного знания» (О. Конт), предлагаются решения этой проблемы, в основе которых лежит отказ от идеи априоризма[24]. Однако возможно решение проблемы возникновения априорных форм, оставаясь в рамках кантовского трансцендентализма. На наш взгляд таковым является разрабатываемый нами подход [15]. Основным механизмом образования априорных форм является кантовская познавательная способность воображения, которая, как пишет Кант, лежит в основе любой синтетической познавательной деятельности. Именно она ответственна за синтез «идей» (= кантовских априорных форм всех типов), которые выходят за рамки конечного опыта и выполняют роль его априорного основания. Способом образования вообразительных априорных «догадок» служит механизм перехода на метауровень, который в рамках метафоры «правого — левого полушария» может быть соотнесен с «правополушарной» деятельностью и нередко сопровождается феноменом творческой ошибки (С. Маслов, [16], [17]). Неиндуктивный характер творческой догадки, а также возможность совершения в ходе ее осуществления творческой ошибки, являются ярким подтверждением возможности получения неэмпирического — априорного — знания и его последующего использования в ходе познания (подробнее о «творческой ошибке» см. приложение).

В-четвертых, возможно и еще одно преодоление статичности кантовского подхода, т.е. отказ от приписывания метафизико-априорному знанию статуса застывших неизменных «форм». Речь идет о том, что в области метафизического (идеального) могут находится сущности разных типов, т.е. не только стандартные неизменные метафизические сущности (к которым относятся кантовские априорные формы), но и темпоральные сущности, т.е. такие идеальные образования, которые способны к (само)изменению и/или (само)развитию. В истории философии это различение было зафиксировано Г. Гегелем как противопоставление метафизики и диалектики. Гегель впервые попробовал представить все основные метафизические концепты в виде единой динамической системы саморазвивающихся сущностей, т.е. придал темпоральный характер всем метафизическим концептам, в том числе и кантовским априорным формам (хотя и мистифицировал этот процесс, «поручив» ее деятельность «мировому духу»). Если же, вслед за Делезом и Гваттари, признать сложный (составной) характер метафизических концептов, то развитие идеальных сущностей, в том числе и кантовских априорных форм, можно помыслить вполне рационально. Основными механизмами видоизменения концептов являются конкретизация, обобщение, а также «обмен» их составными частями в ходе человеческой интеллектуальной деятельности. Например, «образование» рациональных или действительных чисел можно рассматривать как процесс конкретизации исходного концепта (натурального) числа; а введение Кантором кардинального числа — как операцию его обобщения. Аналогично обстоит дело и с кантовскими априорными формами, которые в ходе человеческой деятельности могут изменяться, сохраняя при этом свой априорный статус. Например, кантовский концепт пространства обобщается до n-мерного пространства, которое уже не является представимым (чувственным) созерцанием. В рамках этого подхода, который назовем концепцией динамического априоризма, можно ввести более точное структурирование области априорного, а также задать определенные правила преобразования априорных сущностей.

Наконец (в-пятых), обобщая два предыдущих пункта, сформулируем следующую версию априоризма (модификацию кантовского подхода), которая назовем концепцией эпистемологического гилеоморфизма (ср. с цитированным выше кантовским разделением «материи» и «формы» в познавательном процессе). Ее суть — в снятии строгого кантовского противопоставления «априорное vs. апостеорное». Аналогом для этой модификации является аристотелевское учение о гилеоморфизме, в котором он преодолевает строгое платоновское противопоставлении умопостигаемого «мира идей-форм» и эмпирического «мира вещей». Вместо этого Аристотель предлагает определенную гилеоморфную иерархию. Крайними ее точками являются, соответственно, «абсолютная» — неоформленная — материя (первоматерия) и «абсолютная» форма (первоформа, или аристотелевский Бог—Нус). А середина этой иерархии «заполнена» промежуточными — «относительными» — сущностями, которые являются (онтологическими) «формами» для ее нижележащих уровней и (онтологической) «материей» для ее вышележащих уровней. Точно так же, если трактовать любой познавательный акт (вслед за Кантом) как соединение апостеорного «содержания» (эпистемологической материи) и априорных «форм» (эпистемологической формы), то можно ввести понятие об «относительной априорной форме», которая в рамках какого-либо познавательного акта выступает как метауровневое априори по отношению к предшествующему уровню содержательного апостеори. При этом строгое кантовское противопоставление «априорное vs. апостеорное» имеет место только между крайними точками эпистемологической гилеоморфной шкалы[25], а ее промежуточные «сущности» имеют априорно-апостеорный статус. Например, если учесть срединное положение математики по отношению к «физике» и «метафизике», то математическое знание выступает как априорно-аподиктичное по отношению к «содержательному» естествознанию, и, в свою очередь, основывается на определенных онтологических предпосылках, т.е. является апостеорным по отношению к метафизике (онтологии).

Можно выделить три механизма «взаимодействия» априорного и апостеорного (соответственно, механизмы взаимопереходов априорного и апостеорного; изменения «степени» априорности), различающихся своими временными масштабами.

Основным из них является механизм, действующий на уровне локального познавательного акта. Согласно С. Франку [18], любой локальный познавательный акт может быть описан в виде суждения «А есть X», где А — обозначает то неизвестное, что познается, а X — известный предикат. Тем самым в рамках модельной концепции познание есть не двучленное, а трехчленное отношение между субъектом познания S, объектом А и репрезентатором (моделью) Х: «S познает A как X», или «S познает A через посредство X»[26]. Тем самым, имеющиеся у субъекта «знания» выступают как априорные фильтры, которые предопределяют процесс познания: познать можно лишь то, для чего у нас есть соответствующий репрезентатор (модель) X. Однако в ходе познавательного процесса происходит не только познание эмпирического А, но и уточнение априорного Х, которое в самом начале познавательного процесса выступает как фантазийная (вообразительная) — может быть, ошибочная — априорная догадка. Если на начальных стадиях познания рассогласование между априорным Х и опытом велико, то в ходе последующей модификации Х (уточнения модели) происходит такое его «насыщение», что позволяет говорить о появлении уже не изменяющейся впоследствии локальной априорной формы[27].

При переходе на следующий более длительный временной — исторический — масштаб, сформированная локальная априорная форма выступает (или входит как составная часть) уже как «парадигма» (Т. Кун) или «эпистема» (М. Фуко) или «онтологическое допущение» (У. Куайн), т.е. является фактором социокультурной обусловленности научного познания того или иного исторического периода. В данном случае можно говорить об историко-культурном типе априорной формы, «степень априорности» которой по сравнению с локальными априорными формами значительно выше, а историческим транслятором априорности этого типа является механизм «социальных эстафет» (М. Розов), например связка «учитель — ученик».

Наконец, на историческом макроуровне формируются наиболее устойчивые глобальные априорные формы, которые, например, соответствуют «архетипам» (К. Юнг) или «идолам рода» (Фр. Бэкон). Некоторые из них настолько устойчивы, что «встраиваются» в познавательный механизм человека чуть ли не на физиологическом уровне и являются «врожденными» — типа кантовских априорных форм пространства и времени — априорными формами[28] (именно они имеют максимальную степень априорности, т.е. являются абсолютными a priori); другие — более вариабельны, хотя их историческая модернизация вследствие больших временных промежутков практически незаметна для нескольких поколений человечества.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Суммируем основные тезисы нашего исследования.

1.      (Основной тезис) Математика не является однородной — «одноцентровой» — научной дисциплиной. Говорить об единстве математики надо с некоторой долей осторожности. По своей природе математика разнородна, в ее составе есть два различных «центра»: «арифметика» и «геометрия» (или даже три «центра», если различить арифметику как науку о числе и алгебру как науку об операциях (алгоритмах)). Эпистемологический статус этих составляющих математического знания различен. Если «арифметическая» составляющая тяготеет к априорному метафизическому знанию, то «геометрическая» составляющая тяготеет к апостеорной «физике». Следовательно, при решении вопроса об априорности математического знания надо учитывать ее неоднородный, «двухцентровый» характер. На протяжении истории развития математического знания происходит последовательная смена основной «центровости» математического знания. В отдельные исторические периоды преобладает либо «арифметическая» составляющая математики, либо ее «геометрическая» составляющая. Наряду с этим процессом «внутренней» флуктуации между «геометрией» и «арифметикой», статус математического знания в ту или иную эпоху определяется «внешними» детерминантами: математика то сближается с «физикой», то с «метафизикой».

2.      Высказанный в предыдущем пункте тезис о неоднородности математического знания должен быть дополнен указанием на иерархичность — «вертикальную» неоднородность — математического знания, что особенно проявилось (и было осознано) на более зрелом этапе ее развития (XX в.). Если в п. 1 математика мыслилась как двухчленная — арифметико-геометрическая — иерархия, то теперь оказывается, что и сами эти дисциплины неоднородны, иерархичны. Например, согласно концепции Г. Кантора в составе «арифметики» есть как «порядковые» (результат первой абстракции), так и «надпорядковые» — кардинальные — числа (результат второй абстракции). Тем самым внутренняя структура математического знания еще более усложняется. Соответственно, это также накладывает существенные ограничение на решение вопроса об априорности (апостеорности) математики в целом, т.к. верхние ее этажи являются более «априорными», чем нижние.

3.      Кроме этого, необходимо отказаться от мифов (1) неизменного статуса метафизических сущностей, к которым относятся кантовские априорные формы, и (2) абсолютного противопоставления «априорное versus апостеорное», которое выражает лишь крайние степени шкалы «содержательное — формальное»». Это противопоставление имеет ограниченное методологическое применение и значимо (a) для анализа простых познавательных практик и (b) на начальных этапах анализа сложных познавательных практик. При более детальном анализе знания (познания) это различения является слишком грубым и теряет свою эвристическую ценность. В качестве альтернативы предлагается использовать оригинальные концепции динамического априоризма и эпистемологического гилеоморфизма, являющиеся определенными вариантами априоризма.

 

Литература:

1.       С.Л. Катречко Бесконечность и сознание //Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты (сборник). — М.: Янус-К, 1997. — стр.329-337.

2.       М. Фуко Археология знания. — Киев, «Ника-Центр», 1996.

3.       Л. Витгенштейн Философские исследования //Его же. Философские работы. Часть 1. — М.: Гнозис, 1994.

4.       Г. Вейль Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике //Его же. Математическое мышление. — М.: Наука, 1989.

5.       Г. Вейль Математическое мышление //Его же. Математическое мышление. — М.: Наука, 1989.

6.       С.Л. Катречко Бесконечность и теория поиска вывода //Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты (сборник). — М.: Янус-К, 1997. — стр.190-196.

7.       Прокл Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. — М.: Греко-Латинский кабинет, 1993.

8.       И. Кант Критика чистого разума (серия «Философское наследие»). — М.: Мысль, 1994.

9.       Г. Райл Категории //Его же. Понятие сознания. — М.: ДИК, 2000.

10.    Г. Кантор К обоснованию учения о трансфинитных множествах //Его же. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985. — стр.173-246.

11.    Г. Фреге Основоположения арифметики (логико-математическое исследование о природе числа). — Томск, Водолей, 2000.

12.    Ж. Делез, Фр. Гваттари Что такое философия?. — СПб.: Алетейя, 1998.

13.    Г.В. Лейбниц Письмо Софии-Шарлотте (о том, что независимо от чувств и материи) //Его же. Собр. соч. в 4тт. Т.3. — М.: Мысль, 1984. — стр.371-395.

14.    И. Кант Критика чистого разума. М.: Мысль, 1994.

15.    С.Л. Катречко Как возможно творческое воображение? //Воображение как познавательная способность (в печати; см. «электронную версию» этой по адресу http://www.philosophy.ru/library/image/index.html; http://www.philosophy.ru/library/image/sb_image.doc, а также материалы телеконференции «Как возможно творческое воображение?» на эту тему — http://www.fido7.net/cgi-bin/forumi.fpl?user=Kant).

16.    С.Ю. Маслов Теория дедуктивных систем и ее применения. М.: Радио и связь, 1986.

17.    С.Ю. Маслов Теория поиска вывода и вопросы психологии творчества //Семиотика и информатика, Т.13. С.17-46. — М.: ВИНИТИ, 1979.

18.    С.Л. Франк Предмет знания. — СПб.: Наука, 1995.

19.    М. Вартофский Модели. Репрезентация и научное понимание. — М.: Прогресс, 1988.

20.    Г. Фоллмер Эволюционная теория познания (глава «Познание и действительность»). — М.: Русский двор, 1998.

21.    В.В. Налимов Вероятностная модель языка. — М.: Наука, 1979.

 

Приложение (для интернет версии текста)

Для прояснения сути феномена творческой ошибки приведу описание интересного психологического эксперимента, идея которого принадлежит С. Маслову (если читатель имеет элементарную математическую подготовку, то он может провести его на себе и убедиться в правомерности итогов нашего анализа) [17].

Начало эксперимента

Пусть нам дано следующее исчисление:

алфавит исчисления — {a, b}

правильно построенной формулой (п.п.ф.) будем считать любое, возможно пустое, слово. Например, abba, baba суть п.п.ф. исчисления.

аксиомой исчисления является слово abb;

правила вывода: 1. bXbY Þ XYbb;                  где X, Y, Z — п.п.ф.

                             2. XabYbZ Þ XbYabaZ        исчисления

Выводом будем называть последовательность п.п.ф., начинающуюся с аксиомы исчисления, каждая формула которой получена по правилам вывода из предшествующих формул последовательности.

Например, если нам дана формула babab, то мы можем, применяя первое правило вывода, получить либо формулу ababb, при отождествлении X с aba, а Y — с пустым словом (формула babab представляется как babab__), либо формулу aabbb при отождествлении X с a, а Y — с ab (формула babab в данном случае представляется как babab). В данном случае к формуле babab применимо и второе правило вывода, которое позволяет  получить формулу bbaaba, при отождествлении X с первым b, Y— со вторым a, Z— с пустым словом (т.е. если формулу представлять как babab).

Собственно эксперимент заключается в построении вывода в условиях жесткого временного цейтнота (2‑3 минуты). Вопрос таков: выводима ли в исчислении формула aaaaaaaaaaaaaabb (a ^<14> bb)?

Конец эксперимента

Анализ эксперимента

Важным итогом эксперимента является постулирование ошибочного утверждения о выводимости данной формулы. При проведении эксперимента в различных аудиториях в зависимости от ужесточения временного цейтнота процент неправильных ответов колебался, причем, что интересно отметить, математическая подготовка аудитории при ужесточении временного цейтнота часто оказывала весьма плохую услугу, повышая удельный вес неправильных ответов. Анализируя условия эксперимента, можно видеть, что появление неправильных ответов связано с тем, что начальные шаги построения вывода: abb — baba — aabb — ababa — baabaa — aaaabb — .... подталкивают к формулированию естественной и кажущейся верной догадке, что выводимыми в данном исчислении являются формулы вида a ^<2n> bb, ошибочность которой становится очевидной при дальнейшем построении вывода.

Временные ограничения как раз и необходимы для того, чтобы испытуемый успел проделать всего лишь несколько первых шагов построения, экстраполяция которых и приводит к порождению ошибочной гипотезы, вероятность формулирования которой усиливается при наличии у испытуемых математической интуиции.