Катречко С.Л.

 

Теоретико-множественная парадигма современной математики и ее возможные альтернативы.

 

Последнее обновление — 22.03.2002 г.

 

(исходная версия: конспект лекции, прочитанной на мехмате МГУ 27.03.2001)

 

 

ЧАСТЬ 1. Теоретико-множественная (бурбакистская) парадигма математики

 

В своей программной статье «Архитектура математики» Н. Бурбаки [1] ставит вопрос о концептуальном единстве математики: едина ли математика или «существуют… несколько математик?»[1]. Отвечая на этот вопрос в пользу первой альтернативы, Бурбаки отмечает, что концептуальное единство математики обеспечивается как единым — аксиоматическим — методом математической деятельности, так и единым предметом ее исследования, который согласно Бурбаки состоит в выделении и изучении — на основе того же аксиоматического метода — абстрактных математических структур. Более того, можно выделить три основные, или базовые математические структуры (алгебраические структуры, структуры порядка и топологии), которые выступают как порождающий базис для всех остальных математических теорий, содержательное богатство которых получается путем возможного объединения базовых структур и введения частных, более специальных аксиом (замечу, что именно в этом и состоит суть проекта «единой» математики, который был заявлен и реализован Н. Бурбаки)[2].

Более детальное и ясное представление о сущностных основах — парадигме — математической программы Бурбаки можно почерпнуть из первого тома «бурбакистской» серии с характерным названием «Теория множеств» [2]. Здесь выделяется более глубинная «математическая (прото)структура» — теория множеств, которая цементирует собой, являясь их основанием, не только вышеперечисленные основные структуры, а составляет концептуальный «языковой каркас» (Р. Карнап, [3]) всей математики, поскольку именно теоретико-множественное отношение принадлежности выступает, как пишет Р. Голдблатт [4], «в качестве основного строительного блока для проведения математических конструкций» и выражения [основных — К.С.] свойств математических объектов». В этом смысле, теория множеств выступает не столько как одна из математических теорий, даже и более глубинного уровня (наряду с исчислением высказыванием, исчислением предикатов и эгалитарными теориями [= исчисление предикатов с равенством], что позволяет говорить о том, что теория множеств и логика лежат в основании математики), а является достаточно выразительным по своим возможностям языком (в отличие от предшествующей ей логических протоструктур), на котором формулируются и интерпретируются все остальные математические теории (и даже строится семантика предшествующей ей логических исчислений!)[3]. Более того, как отмечает Н. Бурбаки в своем историческом очерке развития логики и математики, современная символическая логика, создателями которой выступают Г. Лейбниц и Дж. Буль, интуитивно основывается на оперировании именно теоретико-множественными отношениями[4].

Несколько модифицируя (для целей нашего анализа) теоретико-множественную парадигму Н. Бурбаки, можно представить ее в виде следующей иерархии, каждый последующий уровень которой связан с обогащением выразительных возможностей используемого языка:

==============================================================

— логика —

1.       Исчисление высказываний: введение (символов, операций) логических связок & (конъюнкции), V (дизъюнкции), ¬ (отрицания) и Þ (импликации).

2.       Исчисление предикатов: введение кванторов существования ($) и общности (").

3.       Эгалитарные теории [= исчисление предикатов с равенством]: введение знака (операции) равенства (=).

4.       «Наивная» теория множеств: введение основной теоретико-множественной операции (символа) принадлежности элемента множеству (Î).

— математика —

5. Аксиоматическая теория множеств:

§         теория типов Рассела — Уайтхеда (система PM)

§         аксиоматика Цермело — Френкеля (система ZF)

§         аксиоматика Неймана — Бернайса — Геделя (система NBG)

6. Основные математические структуры: алгебраические, топологические структуры, структуры порядка.
7. Сложные, или производные, математические структуры (как комбинация основных структур).

8.       Конкретные математические теории, или собственно МАТЕМАТИКА.

схема 1

Примечания:

1. В данной схеме чертой обозначены три парадигмальных уровня ядра: онтология (языка), логика — математический язык и математика.
2. Конечно, существуют и последующие (9, 10…) уровни прикладных — «физических» — математических теорий, которые здесь не выделены, так не являются предметов нашего «археологического» анализа.

 

Здесь сразу же (несколько забегая вперед) можно предложить модифицированный вариант этой иерархии (схема 2), с которым мы будем работать в дальнейшем. Наиболее важное — принципиальное — отличие модифицированной иерархии от первоначальной бурбакистской иерархии, изображенной на схеме 1, заключается, во-первых, во введении нового промежуточного уровня между уровнями эгалитарных теорий (3) и «наивной» теорией множеств (4). Это — уровень формальной арифметики, который предполагает введение операции «следование за» (что необходимо для построения натурального ряда), других арифметических операций (сложения и умножения) и аксиомы математической индукции. Исторически эта [наша] модификация связана с известным спором между формалистами и интуиционистами после обнаружения теоретико-множественных парадоксов (например, парадокса Рассела) о том, что является базовой интуицией математики. Согласно подходу интуиционистов теоретико-множественная интуиция Г. Кантора слишком уж сильно расширяет границы математики (именно на это и указывают парадоксы) и должна быть сужена и заменена интуицией натурального ряда, которая является истинной «концептуальной» основой математики (см., например, доклад Г. Вейля «Математический способ мышления» [6]). А формалистский подход обоснования математики (на схеме 2 этому соответствует уровень 5, в рамках которого теория типов, система ZF и система NBG представляют собой разные степени «отступления») ратует за менее радикальное «отступление» от первоначальной интуиции «наивной» теории множеств (на схеме 2 она переместилась «выше» аксиоматических систем, хотя мы ее и не выделили в самостоятельный структурный уровень), поскольку, как говорил Д. Гильберт, «никто не сможет изгнать из рая, созданного для нас Кантором»[5]. На определенную «совместимость» этих позиций указывает то, что возможно введение промежуточных — между арифметическими и теоретико-множественным уровнями —  теорий, например (1) простой теории типов («обеднение» теории типов) или (2) второпорядковой арифметики («расширение» формальной арифметики), первая из которых указывает на близость к теории множеств, а вторая — к арифметике [6].

Во-вторых, мы более четко структурировали (и несколько сместили) три метауровня нашей (парадигмальной) иерархии: онтология (язык), логика, математика (заметим, что это является общепринятым на сегодняшний день делением). При этом область собственно теории множеств мы пометили как такой «пограничный» уровень, с которого, возможно, начинаются некоторые «неприятные» последствия для математики (в виде, например, теоретико-множественных парадоксов), т. е. происходит выход за пределы «безопасной» (с точки зрения интуиционистов) зоны, и, как следствие, возникает проблема обоснования (теоретико-множественной) математики. Причем уровни 5.1. — 5.3. соответствуют различным (формалистским) подходам ограничения «наивной теории множеств» (преодоления парадоксов), когда выход за пределы области «теории множеств» все же не происходит.

 

— логика —

1.       Исчисление высказываний: введение логических связок &, V, ¬, Þ

2.       Исчисление предикатов: введение кванторов ", $

3.       Эгалитарные теории: введение знака =

— математика —

4.       Формальная первопорядковая (рекурсивная) арифметика: примитивно-рекурсивные операции («следование за», «сложение», «умножение»), «диагональная функция», метод (аксиома) математической индукции

4 — 5. простая теория типов

4 — 5. второпорядковая арифметика (?? – более богатая теория, чем теория типов)

========================================================================

5.       [Аксиоматическая] теория множеств (операция Î):

§         5.1. теория типов Рассела — Уайтхеда (система PM)

§         5.2. аксиоматика Цермело — Френкеля (система ZF)

§         5.3. аксиоматика Неймана — Бернайса — Геделя (система NBG)

5.хх. «Наивная» теория множеств — парадоксы

==========================================================================

6.       Основные математические структуры: алгебраические, топологические структуры, структуры порядка и их производные комбинации

7.       Конкретные математические теории (= математика как таковая).

схема 2

 

Однако общий принцип построения нашей иерархии остается прежним: каждый последующий уровень является существенным обогащением используемого язык, за счет чего возрастают выразительные возможности вышестоящих логико-математических теорий. Можно дать и более строгое соотношение выразительных возможностей языков на основе предложенной А. Мостовским и С. Клини классификации арифметических, или числовых предикатов. Скажем о ней более подробно, так как именно на ее основе мы попытаемся осмыслить результаты об ограничительных возможностях формализмов. Ее суть заключается в следующем (она будет изложена в соответствии с работой [11]). В обобщенном виде тип той или иной формулы (соответственно, тип языка, в котором можно выразить данную формулу) соответствует типу совершенной предваренной формы формулы, в которой все кванторные комплексы вынесены вперед. Соответственно, формулы в предваренной форме могут быть разбиты на классы в зависимости от того, с какого типа квантора (общности или существования; квантор " относится к типу P_n, а квантор $ — к типу S_n) начинается кванторная приставка; от указания типа (ранга) высшего квантора (верхний индекс) и числа перемен кванторов высшего типа (нижний индекс). Тогда (бескванторный) язык исчисления высказываний относится к типу P₀  = S₀, что соответствует классу рекурсивных предикатов. Формулы высших типов относятся к типу P ^k _n или S ^k _n. К типу P ⁰ ₀ = S ⁰ ₀ относятся все рекурсивные классы и отношения, типу S ⁰ ₁ (или S₁) — рекурсивно-перечислимые, к типу P ⁰ _n È S ⁰ _n — арифметические, к типу P ¹ ₁ Ç S ¹ ₁ — гиперарифметические, к типу P ¹ _n È S ¹ _n — аналитические, или предикаты второпорядковой арифметики.

Представленная ниже (см. схему 3) нашей модификация иерархии (с учетом классификации Мостовского—Клини) соотнесена с структурным «расположением» соответствующих ограничительных теорем о выразительных возможностях формализмов. Она проливает некоторый свет на смысл этих результатов, к которым, помимо известного «набора» теорем (теорема Черча—Россера о неразрешимости исчисления предикатов, теоремы Геделя о неполноте (10) и непротиворечивости (2), теорема Тарского о невыразимости семантической истинности), отнесем также и нерешенную на сегодняшний день P=NP—проблему [12] (уже сам факт наличия этой проблемы показывает «ограниченность» дедуктивных (алгоритмических) возможностей стандартного формализма самого первого уровня — исчисления высказываний!), поскольку указывает на «области действия» этих результатов, их взаимосвязь и «нарастание» негативных результатов при движении вверх по логико-математической иерархии.

— логика —

1.     Исчисление высказываний — P=NP—проблема

2.      Исчисление предикатов — теорема Черча—Россера

3.      Эгалитарные теории (исчисление предикатов с равенством)

4.      Исчисление предикатов второго порядка

— математика —

5.     Формальная арифметика — теорема Тарского, (1) и (2) теоремы Геделя

4—5. простая теория типов; второпорядковая арифметика

========================================================================

6.      [Аксиоматическая] теория множеств:

§         6.1. теория типов Рассела — Уайтхеда (система PM)

§         6.2. аксиоматика Цермело — Френкеля (система ZF)

§         6.3. аксиоматика Неймана — Бернайса — Геделя (система NBG)

6.хх. «Наивная» теория множеств — парадоксы

==========================================================================

7.     Основные математические структуры: алгебраические, топологические структуры, структуры порядка и их производные комбинации

8.     Конкретные математические теории (= математика как таковая).

схема 3

==========================================================================

 

Здесь можно дать некоторое уточнение нашего понимания теорем об ограничительных возможностях формализмов. О чем говорят отмеченные нами «ограничительные» результаты? Во-первых, эти результаты действительно показывают ограниченность стандартных формальных систем: за формальную строгость («узость») приходится расплачиваться ограниченностью («широты»)[7]. Однако мыслитель должен, как говорил Спиноза, не оценивать («плакать или смеяться»), а прояснять суть дела («понимать»). Поэтому в факте «ограниченности» важен не столько оценочный компонент, сколько то, что он [факт] определенным образом указывает на сущностные характеристики стандартных логико-математических формализмов, которые и надо постараться выявить при осмыслении этих результатов. На наш взгляд ключевым здесь является, почерпнутое нами из работ Е.Д. Смирновой [см. 11], разграничение выразительных и дедуктивных возможностей формализмов, или формальных языков. Тогда в наиболее общем виде факт «нарастания» ограничительных результатов (особенно теоремы Геделя) указывает на неравномерный рост выразительных и дедуктивных возможностей стандартного набора формализмов, представленного в нашей иерархии, а именно на то, что выразительные возможности формализованных языков «растут» несколько быстрее, чем дедуктивные, а «дедукция» не успевает за «выразительностью».

(см. продолжение ниже)

Литература:

1.      Бурбаки Н. Архитектура математики» //Его же. Очерки по истории математики. М.: Изд-во Ин. Лит, 1963. — с. 245—259.

2.      Бурбаки Н Теория множеств. М.: Мир, 1965.

3.      Карнап Р. Эмпиризм, семантика и онтология //Его же. Значение и необходимость. М., 1959

4.      Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики. М.,

5.      Бурбаки Н. Архитектура математики» //Его же. Очерки по истории математики. М.: Изд-во Ин. Лит, 1963.

6.      Вейль Г. Математический способ мышления //Математическое мышление. М., Наука, 1989.

7.      Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории числе //Математическая теория логического вывода. — М., Наука, 1967. — с.77—190.

8.      Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории чисел //Математическая теория логического вывода. — М., Наука, 1967. — с.77—190.

9.      Гедель К. Об одном еще не использованном расширении финитной точки зрения //Математическая теория логического вывода. — М., Наука, 1967. — с.299—304.

10.   Крайзель Г. Исследования по теории доказательств. — М., Мир, 1981.

11.   Смирнова Е.Д. Логика и философия. М.: РОССПЭН, 1996 (глава 3; стр. 84—132); (см. также более ранние работы Е.Д. Смирновой «Логическая семантика и философские основания логики» (1986), «Основы логической семантики» (1990), где эта тема анализа смысла ограничительных теорем раскрыта в разных аспектах).

12.   Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М., Мир (?), 1983.

 

ПРОДОЛЖЕНИЕ + справочные материалы:

 

Следующий наш этап модификации связан с уточнением «уровня» действия тех и или иных ограничительных результатов. Сначала приведем модифицированную (обобщенную) схему 4, а потом дадим краткий комментарий к ней (с учетом уточнений Черча, Смальяна, Булоса):

 

==    ОБОБЩЕННАЯ СХЕМА 1—4  ==

 

— логика —

1.      Исчисление высказываний: введение (символов, операций) логических связок & (конъюнкции), V (дизъюнкции), ¬ (отрицания) и Þ (импликации) — P = NP — проблема

2.      Исчисление предикатов первого порядка: введение кванторов существования ($) и общности (")

2.1. Монадическая (предикатная) логика (силлогистика)

=====================================

2.2. Диадическая (предикатная) логика – теорема Черча-Россера

3.      Эгалитарные теории (исчисления предикатов с равенством) – могут строиться уже с уровня 2.1

4.      Исчисление предикатов 2-ого порядка — существенное усиление отношения следования («слабая» полнота Хенкина)

5.      Теоретико-множественный язык: введение основной теоретико-множественной операции принадлежности элемента множеству (Î)

— математика —

6. Арифметика (может начинаться с уровня 2.2.) — Формальная первопорядковая (рекурсивная) арифметика: примитивно-рекурсивные операции («следование за», «сложение», «умножение»), метод (аксиома) математической индукции (интуиция натурального ряда — см. п. «0»)

6.1. R (классификация Тарского — Мостовского — Робинсона — взято из Р. Смальяна «Теория формальных систем», стр. 196) — самая слабая арифметическая система, в которой определены все рекурсивные функции ( в отличие от последующей Q (R — формальная подтеория Q) — содержит бесконечно много аксиом, задаваемых 5 схемами аксиом). Общий результат Тарского: непротиворечивая теория, в которой определимы все рекурсивные функции (существенно) неразрешима)

— (1) и (2) теоремы Геделя (примеры полных – разрешимых!! (см. Р. Линдон Заметки по логике стр.57-60) теорий: плотный линейный порядок, теория равенства, теория абелевых групп с символом равенства и операцией группы; теория действительных числе А. Тарского с операциями =, сложения и умножения; арифметика Пресбургера (с операцией +, но без умножения); арифметика с одним умножением (без + и следования за; Сколем)

6.2. Q – конечно-аксиоматизированная система (формальная математики) Робинсона

6.3. Z — Арифметическая система Гильберта (каков ее статус?; ясно, что она является расширением Q, т.е. примерно соответствует P (см. след. уровень 6.4)

6.4. P (арифметика Пеано) — теорема Тарского о невыразимости истины (?)

6.5. N – (max) насыщенная арифметика

================================================================

7. [Аксиоматическая] теория множеств:

7.1. теория типов Рассела — Уайтхеда (система PM)

7.2. аксиоматика Цермело — Френкеля (система ZF)

7.3. аксиоматика Неймана — Бернайса — Геделя (система NBG)

 

7.х «Наивная» теория множеств — парадоксы (парадокс Рассела, Бурали-Форти, Кантора)

==========================================================================

8. Второпорядковая арифметика (анализ) — неформализуемость

9.     Основные математические структуры: алгебраические, топологические структуры, структуры порядка и их производные комбинации (Н. Бурбаки «Архитектура математики»)

9.1. Сложные математические структуры (как комбинация основных структур)

10.  Конкретные математические теории, или собственно МАТЕМАТИКА.

========================

 

Вопрос: что ответственно за соответствующий ограничительный результат?

 

1. Неразрешимость = ½ разрешимость (исчисления предикатов). Она связана с переходом от монадической к диадической предикатному исчислению.

2. Неполнота = неразрешимость (арифметики). Ответа пока не знаю. Варианты таковы:

—    ? математическая индукция (индукция не формализуема дедукцией; Нейманом и Аккерманом (учениками Гильберта) получен результат о полноте системы Z с «усеченной» (конечной) индукцией)

—    ? полный «набор» рекурсивных функций (арифметических операций, а именно комбинация сложения и умножения, т.к. по отдельности они не ведут к неразрешимости – результат Пресбургера –Сколема) — см. результат о неполноте систем Q (R) (Смальян — Булос: «Теория Q является достаточно сильной (по выразимости — К.С.) в каких-то отношениях (все рекурсивные функции представимы в ней), но довольно слабой в других (например, "x"у x + y = y + x — уже не теорема Q)» стр. 214 + см. также упр. 14.2 на стр. 227; Лемма 15.4 Теория Q неразрешима (неполна) — системы беднее чем арифметика, но в них выразимы все рекурсивные функции.

—    NB! Диагональная функция Кантора – Геделя значима не сама по себе (не она одна и сама по себе ответственна за неполноту), а при условии полноты рекурсии.

3. Парадоксальность (теории множеств). С неправомерным «расширением» теоретико-множественной интуиции, интуиции множества (либо надо ограничить мощность множества (ZF, NBG), либо уточнить его концептуальное содержание.

 

Комментарии + цитаты.

 

Е. Смирнова (Основы логической семантики, стр.50):

 

Уточнение теоремы Тарского для любой противоречивой теории, если в ней определима диагональная функция, то класс ее истинных предложений неопределим в этой теории

Т.е. эта теорема говорит об ограниченности выразительных (отнюдь не дедуктивных средств теории) средств достаточно богатых систем со стандартной формализацией (она работает с системой Пеано Р) (понятно, что не все арифметические операции определимы в числовых предикатах Геделя – но NB главное, что предикат истинности входит в их число...  класс истинных утверждений в принципе неаксиоматизируем

 

Р. Смальян (Теория формальных систем; стр. 196—197) дана следующая нисходящая арифметическая иерархия (Тарского, Мостовского, Робинсона): N, P, Q, R., где каждая является расширением нижележащей. Где N – (max) насыщенная арифметика, P – арифметика Пеано, Q – конечная (число аксиом) система Робинсона, R – подтеория Q, содержащая бесконечно много аксиом, задаваемых пятью схемами аксиом. Тарским показана неразрешимость (неполнота) R (вернее неразрешимость всех непротиворечивых теорий, в которых определимы все рекурсивные функции) !!!

 

Дж. Булос Р. Джеффри (Вычислимость и логика):

 

1.      Теорема Геделя верна уже для уровня Q.

2.      Второпорядковое исчисление предикатов «неполно» с кванторами по функциональным, пропозициональным и предикатным (отличие от Черча!) переменным (как бы противоречит теореме Генкина) – «никакая непротиворечивая формализация логики второго порядка не является полной» (стр.270), или «логика второго порядка является … неформализуемой, некомпактной, «не-левенгеймо-сколемской» (с.271),

3.      но есть разрешимая арифметика со сложением и без умножения (гл.21, теорема Пресбургера) и арифметика с умножением, но без сложения и операции «следует за» (результат Сколема – с. 290)

4.      показано, что для теоремы Тарского о невыразимости во-первых, есть «аппроксимации» арифметической истины, выразимые в арифметике первого порядка и она выразима во второпорядковой арифметике (гл.19)

5.      Результат А. Черча также может усилен, т.е. перенесен ниже, т.к. граница между разрешимостью и неразрешимостью пролегает между одноместным (монадическим) и двухместным (диадическим) логикой: «Таким образом, понятие логики и понятие разрешимости находятся в следующих причудливых отношениях: существенной чертой современного возрождения логики, начавшегося с работ Буля, Фреге и других, было заметное расширение понятие правильного умозаключения. Умозаключения, правильность которых зиждилась на «классической», или «досовременной», логике, трактуются современной логической теорией как умозаключения монадической логики, умозаключения, посылки и заключения которых могут быть символьно изображены формулами, содержащими только одноместные предикатные символы и, может быть, знак равенства (примеры: (1) «Все лошади суть животные. Следовательно, всякий, кто ездит верхом на всех животных, ездит верхом на всех лошадях»; «Каждый любит каждого любящего. Следовательно. Или никто не любит никого, или каждый любит каждого» — они не могут быть обоснованы в монадической, но обосновываются в диадической логике)... Таким образом, платой за возрастание выразительной мощи этой теории является неразрешимость современного понятия правильного умозаключения, поскольку неразрешимость, как мы увидим, возникает в тот момент, когда в предложения, используемые для символьного изображения умозаключений, допускаются двухместные предикатные символы (отличные от =). Стр. 328—329 (глава 25)

 

 

Система Q Робинсона (Дж. Булос, Р. Джеффри Вычислимость и логика — стр. 214)

 

Вспомогательные символы - <>¬¹→  <>¬¹→"$ ·

 

1. "x"у(x’ = у’ → x = y)

2. "x 0 ¹ x’

3. "x (x ¹ 0 → $y x = y’)

4. "x x + 0 = x

5. "x"у x + y’ = (x + y)’

6. "x x · 0 = 0

7. "x"у x · y’ = (x · y) + x   

 

«Теория Q является достаточно сильной (по выразимости — К.С.) в каких-то отношениях (все рекурсивные функции представимы в ней), но довольно слабой в других (например, "x"у x + y = y + x — уже не теорема Q)» стр. 214 + см. также упр. 14.2 на стр. 227

 

Лемма 15.4 Теория Q неразрешима (неполна)

 

==================================================

 

Что такое множество? (заметка от 8.03.2002 г.)

 

Для концептуального анализа понятия множества необходимо разобрать «составляющие» этого концепта. Формульно множество задается так: х Î Х. А это значит, что концепт «множество» зависит от понимания «элемента множества» (х–малое) и «отношения принадлежности» (Î). Множество — это «многое, мыслимое как целое». Т.е. множество — не простой набор или совокупность предметов. Если мыслить множество так, то это сделал Ст. Лесьневский в своем понятии «класса» (целого) (см. его мереологию), или, если дать более точный образ, то это «куча», где (1) предметы сохраняют свою самостоятельность, (2) выполняется условие, что целое = (любой) сумме своих частей (шар = сумме половинок, и сумме четвертей, и сумме третей (причем все эти суммы равны друг другу)) + части однотипны (в теории множеств части могут быть разнотипны); (3) части и целое имеют один и тот же онтологический статус (целое существует в том же смысле, что и части). Второй аналог отношения «часть — целое» — родо-видовые отношения. Здесь явно целое больше своих частей и имеет другой онтологический статус. (Я не знаю, формализовал ли именно отношение — м.б. Куайн в аксиоматической теории множеств NF?). Третий возможный аналог — системный подход, где целое мыслится как система частей («целое, мыслимое как многое»), т.е. учитывается не только «материальный состав» целого, но и взаимосвязи между ними. Видимо, более важное здесь «обратное направление взгляда»: не от частей к целому, а от целого к частям, т.е. не синтез (нового) целого, а анализ (уже существующего, увиденного) целого.

 

Что же представляет собой теоретико-множественный подход? Это определенная реализация отношения «часть — целое» (четвертая возможность в нашем анализе). Это синтез нового целого из частей, и поэтому онтологических статус множества отличается от онтологического статуса элемента (если даже «материальный состав» тождественен: х (например, 1) ¹ {х} ({1})). Множество — это метауровневая сущность и поэтому расселовские парадоксы неприемлемы (вернее, расселовские парадоксы показали и подчеркнули это). Но множество, в отличие от «кучи» Лесневского что-то делает со своими элементами. Я бы привел такой образ: множество — это «слиток» (золота), составленный из элементов (золотых монет; замечу, что не обязательно из однородных элементов — например, из золотых и фальшивых (серебряных) монет). Т.е. множество — это «слитое» (в одно) многое. И единственно возможная операция с этим слитком — «работа» и подмножествами, т.е. «новыми» частями целого. Причем, в общем случае они не совпадают с исходными частями и/или с другим разбиением целого на части. В момент слияния (в слиток) все исходные элементы исчезли, а последующие разбиения на подмножества — это создание новых частей. Исходные элементы множества (золотые монеты) можно пересчитать. Но когда образуется слиток, то прежние числа (пересчет) к нему не применим. Канторовская мощность — это, например, масса слитка, но более точный аналог — его «объем». Тогда мощность — это возможность сохранения объема: например, мы можем уполовинить количество исходных элементов (золотых монет), но если у нас остается возможность создать такой же по объему слиток, то «объемные» характеристики строительных элементов равны. Я думаю, что другие «разрежения» исходных элементов будут равнообъемны (точнее, все функциональные разрежения! — ведь (обычные типа сложения умножения, степени) функции — это способы разрежения или уплотнения объема, но не его увеличения. Увеличить объем можно одним способом (моя гипотеза, следующая из образа слитка) — взять исходное (т.е. первообразованный слиток) целое, разбить его на (новые) элементы (подмножества) и уже из них!! образовать новое целое—слиток: например, из слитка создать ажурную конструкцию (— проверить!!). В этой аналогии становится также понятна не-счетность множества, т.к. слиток, в отличие от дискретных элементов — нечто цельное, или континуальное, что означает возможность его разбиения бесконечным числом способов (в то время как образован он одним — счетным — из способов).

С чем из физических характеристик может быть соотнесена «мощность» множеств — с объемом, массой (маловероятно) или плотностью (ведь объем слитка меньше, чем объем исходных элементов, а вот плотность больше). Правда это сопоставление физических и математических величин можно продолжить: у вещей есть масса и объем, две, в общем-то независимые характеристики. Нельзя ли это сопоставить комплексным числам или плоскостным числам?