Катречко С.Л.
Самостоятельная работа 12. Что такое математика?
(см. форумы «Философские проблемы математики» (http://www.fido7.net/cgi-bin/forumi.fpl?user=phil09) и «Категориальный базис математики» (http://www.fido7.net/cgi-bin/forumi.fpl?user=phil13), а также сам/раб. «Онтологический статус и категориальный базис математики: основные концепты» http://www.philosophy.ru/library/katr/sam12.html)
1. Что такое математика? Понимание ее природы, сущности. Основные концептуальные понятия математики. Особенности языка математики. Математическое доказательство. Природа математического творчества.
— теоретико-множественная парадигма и ее возможные альтернативы (парадоксы теории множеств и подходы к их возможному разрешению)
— основные программы обоснования математики (логицизм, формализм, интуиционизм, конструктивизм, ультраинтуиционизм (Есенин – Вольпин)).
2. Природа математического доказательства. Специфика математического мышления и творчества.
(работы 1.1.//1.2 – по выбору; адрес форума: http://www.fido7.net/cgi-bin/forumi.fpl?user=phil09)
1.1. Платоно-пифагорейское учение о ЧИСЛЕ (Прокл "Комментарий к первой книге "Начал" Евклида" /// Плотин Эннеады (VI.6 «О числах» http://www.philosophy.ru/library/plotin/01/29.html) + книга П.П. Гайденко «Эволюция понятия науки» (кн.1)).
1.2. Понятие бесконечности (континуальности) в математике и философии: его эволюция в трудах Платона, Аристотеля, Кузанского, Лейбница (по книгам П. Гайденко "Эволюция понятия науки" (кн.1. + кн.2)).
2. Как возможна математика? (И. Кант). Сравнительный анализ математики и философии (по работе И. Канта "Критика чистого разума": гл. «Трансцендентальная эстетика», «Трансцендентальная логика», «О схематизме чистых рассудочных понятий», «Дисциплина чистого разума» (соотношение математики и философии)).
3. Специфика математического мышления и творчества (по статьям Д. Гильберта «Аксиоматическое мышление»; А. Пуанкаре «Математическое творчество» и «Интуиция и логика в математике»; Г. Вейля «Математический способ мышления» и «Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике»; метафора «левого-правого полушария» (работы С. Маслова и В. Иванова).
4. Природа математического доказательства (по работе И. Лакатоса «Доказательства и опровержения»). Можно ли считать машинные доказательства доказательствами? (см. статьи В.А. Успенского О доказательстве //Закономерности развития современной математики. М., 1987; А. Анисова ЭВМ и понимания математических доказательств //журнал «Вопросы философии», 1987, № 3).
5. Что такое математика? (по статьям Г. Вейля, Хао Вана, В. Налимова, Ю. Манина, В. Арнольда, И. Шафаревича, А. Есенин-Вольпин etc — см. литературу авторов ниже). Концептуальный аппарат математики: понятия числа (Фреге), функции (Фреге, Кассирер), множества (Кантор, Рассел), математической структуры (Бурбаки) (выберете одно из понятий для анализа — см. литературу авторов ниже).
Литература (жирным шрифтом выделена обязательная литература)
1. А.Пуанкаре Математическое творчество; Интуиция и логика в математике //Его же. О науке. 1983, с. 205—218, 309—320. + Ж. Адамар Исследование психологии процесса изобретения в области математики (анализ концепции Пуанкаре).
2. Г.Вейль Математический способ мышления; Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике //Математическое мышление. — М., 1989.
3. Д.Гильберт Аксиоматическое мышление //Методологический анализ оснований математики. М., 1988 + Его же. О бесконечности //Его же. Основания геометрии. М-Л., 1948.
4. Н.Бурбаки Архитектура математики //Очерки по истории математики.
5. И.Лакатос Доказательства и опровержения (как доказываются теоремы). М., 1967.
6. С.Ю. Маслов Теория дедуктивных систем и ее применения (глава 9). М., 1986 /// С.Ю. Маслов Асимметрия познавательных механизмов и ее следствия //Вопросы семиотики, 1983, Вып.20 (+ В.В. Иванов Чет и нечет. М.: Сов.радио, 1980; -- В.В. Иванов Нечет и чет //Его же. Избранные труды по семиотике и истории культуры. М., Языки русской культуры, 1999. Т.1).
7. Ж. Дьедонне Абстракция и математическая интуиция //Математики о математике. М., 1982.
8. У. Куайн Онтологическая относительность //Современная философия науки (хрестоматия). М., 1996; // У. Куайн Вещи и их место в теориях //Аналитическая философия: становление и развитие. — М., ДИК, 1998. — стр. 322—342.
9. Статьи Б. Уорфа и Э. Сепира по гипотезе языковой относительности (+ комментарий С. Катречко) // Р. Карнап Эмпиризм, семантика и онтология //Его же. Значение и необходимость (исследования по семантике и модальной логике). М., 1970
10. П.А. Флоренский Наука как символическое описание //Сочинения в 2т. (У водоразделов мысли (т.2). 1990 (см. www.philosophy.ru или www.vehi.liter.ru).
Дополнительная литература:
11. П.П. Гайденко Эволюция понятия науки (кн.1.и кн.2 – с разными подзаголовками) //Ее же. История греческой (новоевропейской) философии в ее связи с наукой (есть на сервере).
12. Е.Л. Фейнберг Интуиция. Логика. Искусство М., Сов. радио, 1981; Его же. Две культуры М., 1992; см. его статью в: «Вопросы философии», 1986, N8.
13. В.Ф. Асмус Проблема интуиции в философии и математике М., 1965
14. Т. Кун Структура научных революций М Прогресс 1975
15. К.Поппер Логика и рост научного знания М Прогресс 1983
16. И. Лакатос Фальсификация и методология научно-исследовательских программ. М., Медиум, 1995.
17. П. Фейерабенд Избранные труды по методологии науки. М., Прогресс, 1986.
-- см. также статьи И. Лакатоса, Т. Куна, К. Поппера, П. Фейерабенда в сборнике: Структура и развитие науки (из Бостонских исследований по философии науки). М., 1978.
18. Ван Хао Процесс и существование в математике //Математическая логика и ее применения. М., 1965.
19. Шафаревич И.Р. Предисловие //Основные понятия алгебры, М., 1986.
20 Д. Пойа Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1975.
21. Ю.Манин Доказуемое и недоказуемое. М.: Сов.радио, 1979.
22. В.В.Налимов Вероятностная модель языка (и/или другие его работы).
23. В.И.Арнольд Математика с человеческим лицом. «Природа», 1988 № 3.
24. А.С. Есенин – Вольпин Об антитрадиционной (ультраинтуиционисткой) программе оснований математике и естественно-научном мышлении //Вопросы семиотики, 1993, Вып.33, стр. 13—68
25. Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики. М.: Мир, 1983.
26. Э. Кассирер Познание и действительность (понятие о субстанции и понятие о функции). М., 1998 (?).
27. Б. Рассел Введение в математическую философию. М., 1996.
28. Г. Фреге Основоположения арифметики (логико-математическое исслед. о понятии числа). Томск, 2000.
29. Э. Гуссерль Логические исследования (Т.1); Его же. Начало геометрии.
Вопросы к экзамену по курсу «Философия математики» (факультативные вопросы):
1. Основные подходы к пониманию математики в истории философии. Что такое математика? (аргументируйте собственную позицию и сравните ее с известными «математическими» позициями)
2. Работа Н. Бурбаки «Архитектура математики». Математические структуры.
3. Работа Д. Гильберта «Аксиоматическое мышление». Аксиоматический метод в математике.
4. Взгляды А. Пуанкаре на природу математического творчества (А. Пуанкаре Математическое творчество (Ж. Адамар Исследование психологии процесса изобретения в области математики))
5. Роль и типы интуиции в математике (А. Пуанкаре Интуиция и логика в математике; Ж. Дьедонне Абстракция и математическая интуиция).
6. Взгляды Г. Вейля на природу математики (Г.Вейль Математический способ мышления; Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике)
7. Метафора «левого-правого полушария». Ее «онтогенетический» и «филогенетический» вариант С.Ю. Маслов Теория дедуктивных систем и ее применения (глава 9) // С.Ю. Маслов Асимметрия познавательных механизмов и ее следствия)
8. Природа математического доказательства. Основные идеи работы И. Лакатоса «Доказательства и опровержения» (примечание: при ответе по работе И. Лакатоса обратить внимание на типы контрпримеров и методы «борьбы» с ними (на примерах книги)
9. Теоретико-множественная парадигма (по работе Н. Бурбаки Теория множеств) современной математики и ее возможные альтернативы (взгляды Н.А. Васильева (паранепротиворечивые логики — «Воображаемая логика»), А.И. Уемова (ЯТО), Ст. Лесьневского (мереология), теория категорий (Р. Голдблатт); см. конспект моей лекции ниже)
10. Философский смысл теорем об ограниченности формализмов (P=NP-проблема, теорема Черча - Россера, теорема Тарского, 1 и 2 теоремы Геделя — см. Смирнова Е.Д. «Логика и философия» (гл.5))
11. Математика и онтологические допущения. Тезис об онтологической относительности Куайна (У. Куайн Онтологическая относительность; Вещи и их место в теориях)