Катречко С.Л. == Спецкурс для студентов ВМК — весна 2002 г. ==

ФИЛОСОФСКО-СЕМАНТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛОГИКИ, МАТЕМАТИКИ, ЯЗЫКА

Аннотация курса: В рамках курса предполагается обсуждение вопросов философских оснований (семантических основ) логики, математики и метаматематики, а также некоторых вопросов теории поиска вывода (автоматического доказательства теорем). «Стрежневой» темой спецкурса будет обсуждение теоретико-множественной (бурбакистской) парадигмы современной математики и ее возможных альтернатив (более подробно об этой парадигме см. лекцию — http://www.philosophy.ru/library/physics/mathlek.html).

Вопросы к зачету: (27 мая в 14.00)

(надо будет отвечать на два вопроса; один из них — по выбору студента)

1. Что такое математика? Какова ее природа и специфика деятельности? Специфика математического мышления (по статьям Д. Гильберта «Аксиоматическое мышление»;; Г. Вейля «Математический способ мышления» и «Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике»; см. также работы Хао Вана, В. Налимова, Ю. Манина, В. Арнольда, И. Шафаревича, А. Есенин-Вольпин etc — см. литературу авторов ниже).

2. Периодизация истории математического знания (по А.Н. Колмогорову: 1) период зарождения математики; 2) период элементарной математики; 3) период математики переменных величин; 4) период современной математики). Три кризиса оснований математики (1. античный, связанный с осознанием непрерывности (Пифагор, элеаты); 2. новоевропейский, связанный с некритическим использованием бесконечно малых величин (начало XIX века); 3. новейший, связанный с появлением математических антиномий).

3. Является ли математика единой наукой? Основные идеи подхода Н. Бурбаки (по статье «Архитектура математики»)

4. Концептуальный аппарат математики. Ее основные понятия: понятия числа (пифагоро-платоновское учение, Фреге), функции (Фреге, Кассирер), множества (Кантор, Рассел), класса (Рассел), математической структуры (Бурбаки), понятие бесконечности в математике (выберете 2-3 понятия для анализа — см. литературу ниже).

5. Аксиоматический метод математики (по статье Д. Гильберта)

6. Теоретико-множественная парадигма математики. Теория множеств как математический язык.

7. Канторовская («наивная») теория множеств, парадоксы (парадоксы Бурали-Форти (Кантора) и Рассела) и различные аксиоматизации теории множеств (как способы преодоления парадоксов).

8. Основные программы обоснования математики: логицизм, формализм, интуиционизм, конструктивизм, ультраинтуиционизм (Есенин – Вольпин)).

9. Основные альтернативы теоретико-множественной парадигме (на разных уровнях). Теория категорий как альтернативный язык математического описания.

10. Что такое логика? Понятие логической формы. Основные типы логических форм. Традиционная (аристотелевская) и современная (математическая) логика.

11. Основные логические системы: гильбертовские, генценовские (секвенциальные) исчисления, системы натурального вывода. Особенности понятия (построения) вывода.

12. Современная логика. Общая характеристика основных логических систем современной логики: модальные, временные, эпистемические, релевантные, многозначные, вероятностные.

13. Альтернативные системы современной логики: логики Лесьневского, логики Васильева (паранепротиворечивые логики), логики Уемова (язык ЯТО), нефрегевские логики (Л. Витгенштейна — Р. Сушко).

14. Теория поиска вывода (автоматическое доказательство теорем). Исчисления поиска вывода. Основные идеи ТПВ: метод метапеременных, допустимые правила вывода, глобальная обработка информации.

15. Математика и онтологические допущения. Тезис об онтологической относительности Куайна (У. Куайн Онтологическая относительность). Гипотеза языковой относительности Сэпира-Уорфа. Особенности языков фреге-расселовского типа: критерий Куайна и Черча (по работе В.А. Смирнова).

16. Философский смысл теорем об ограниченности формализмов (P=NP-проблема, теорема Черча - Россера, теорема Тарского, 1 и 2 теоремы Геделя — см. Смирнова Е.Д. «Логика и философия» (гл.5); P=NP-проблема — см. работу Гэри — Джонсонса)

17. Математическое творчество. Природа математического доказательства (о творчестве см. статьи А. Пуанкаре «Математическое творчество» и «Интуиция и логика в математике» + метафора «левого-правого полушария» (работы С. Маслова и В. Иванова); доказательство — работу И. Лакатоса «Доказательства и опровержения» (приоритетная работа) + см. 17.1).

17.1. Можно ли считать машинные доказательства доказательствами? (см. статьи В.А. Успенского О доказательстве //Закономерности развития современной математики. М., 1987; А. Анисова ЭВМ и понимания математических доказательств //журнал «Вопросы философии», 1987, № 3).

Основная литература:

(жирным шрифтом выделена наиболее важные тексты)

1. Клайн М. Математика: утрата определенности. – М.: Мир, 1984. Особенно гл.8-12.

2. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М., 1991.

3. Г.Вейль Математический способ мышления; Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике //Математическое мышление. — М., 1989.

4. Д.Гильберт Математическое мышление //Методологический анализ оснований математики. М., 1988. (Гильберт Д. Основания геометрии. – М.-Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948. Добавления VI-X. (о методе идеальных элементов Гильберта: Смирнова Е.Д. Логика и философия. – М.: РОССПЭН, 1996. Гл.6, §§ 2-3. Смирнова Е.Д. Кант и гильбертовская теория доказательств (роль идеальных образов у Д.Гильберта и И.Канта) // Логические исследования. Вып.3. – М.: Наука, 1995. С.5-23. Смирнова Е.Д. И.Кант и финитная установка Д.Гильберта // Логические исследования. Вып.4. – М.: Наука, 1997. С.304-309. Смирнова Е.Д. Роль идеальных элементов у Гильберта и Канта // Кантовский сборник. Вып.15. – Калининград, 1990. С.106-116.)

5. Н.Бурбаки Архитектура математики //Очерки по истории математики + Его же. Теория множеств Теория множеств. М., 1965; Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963.

6. И.Лакатос Доказательства и опровержения (как доказываются теоремы). М., 1967.

7. С.Ю. Маслов Теория дедуктивных систем и ее применения (глава 9). М., 1986 /// С.Ю. Маслов Асимметрия познавательных механизмов и ее следствия //Вопросы семиотики, 1983, Вып.20 (+ В.В. Иванов Чет и нечет. М.: Сов.радио, 1980; -- В.В. Иванов Нечет и чет //Его же. Избранные труды по семиотике и истории культуры. М., Языки русской культуры, 1999. Т.1).

8. А.Пуанкаре Математическое творчество; Интуиция и логика в математике //Его же. О науке. 1983, с. 205—218, 309—320. + Ж. Адамар Исследование психологии процесса изобретения в области математики (анализ концепции Пуанкаре).

Литература для подготовки к вопросу № 3 (по выбору):

9. === Платоно-пифагорейское учение о ЧИСЛЕ === Начала Евклида. Т.1. М.-Л., 1948; Прокл "Комментарий к первой книге "Начал" Евклида" (см. в Инете — (дир)../physics) /// Плотин Эннеады (VI.6 «О числах» http://www.philosophy.ru/library/plotin/01/29.html); Лосев А.Ф. История античной эстетики. [Т.1:] Ранняя классика. 1-е изд. – М.: Искусство, 1963. 2-е изд. – М.: Ладомир, 1994. Часть 2, Эстетика конечных числовых структур, древнее пифагорейство, § 1, особенно разд.3. + книга П.П. Гайденко «Эволюция понятия науки» (кн.1));

10. === Кантовский подход к математике === И. Кант "Критика чистого разума": гл. «Трансцендентальная эстетика», «Трансцендентальная логика», «О схематизме чистых рассудочных понятий», «Дисциплина чистого разума».

11. Б. Рассел Введение в математическую философию. М., 1996.

12. Г. Фреге Основоположения арифметики (логико-математическое исследование о понятии числа). Томск, 2000.

13. О понятии числа: Шафаревич И.Р. Предисловие //Основные понятия алгебры, М., 1986.

Дополнительная литература:

(разбита по темам ( = вопросам зачета)

Математика. Сущность и история становления (периодизация):

Курант Р., Робинс Г. Что такое математика? (Элеменоарный очерк идей и методов). М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Тт. 1-2. М.: Наука, 1979-82.

Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика. М.: Мир, 1966.

Шиханович Ю.А. Введение в современную математику. М.: Наука, 1965.

Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук. Т. 1. Догреческая математика. М.; Л., 1937.

Демидов С. С. К истории аксиоматического метода II История и методология естественных наук; Математика. Механика. М., 1973. Вып. 14.

Барабашев А.Г. Будущее математики. Методологические аспекты прогнозирования. М., 1991

Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика. Киев, 1976

Клайн М. Математика: утрата определенности. – М.: Мир, 1984. Особенно гл.8-12.

Клайн М. Математика: в поисках истины. М., 1986

Рассел Б. Введение в математическую философию. – М.: Гнозис, 1996.

Панов М.И. Методологические проблемы интуиционистской математики. – М.: Наука, 1984

Перминов В.Я. Методологический анализ оснований математики. М., 1988

Реньи А. Трилогия о математике. М., 1980

Рузавин Г.И. О природе математического знания. М., 1968

Ю.А.Шрейдер Понятия математики и обьекты науки //ВФ, 1974 N 2

Ю.Манин Доказуемое и недоказуемое. М.: Сов.радио, 1979.

В.В.Налимов Вероятностная модель языка (и/или другие его работы).

В.И.Арнольд Математика с человеческим лицом. «Природа», 1988 № 3. (см. его работы «против» Бурбаки в Инете)

Ван Хао Процесс и существование в математике //Математическая логика и ее применения. М., 1965.

Шафаревич И.Р. Предисловие //Основные понятия алгебры, М., 1986.

А.С. Есенин – Вольпин Об антитрадиционной (ультраинтуиционисткой) программе оснований математике и естественно-научном мышлении //Вопросы семиотики, 1993, Вып.33, стр. 13—68

Вейль Г. О философии математики. М.-Л., 1934.

Успенский В.А. СЕМЬ РАЗМЫШЛЕНИЙ НА ТЕМЫ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ.

Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? М., 1987.

Математика, ее содержание, методы и значение. Т.1. М., 1956.

Математика в современном мире. М., 1967.

Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968.

Математики о математике, М., 1982

Канцивели Г. (Шилов Г.Е.) Математика и действительность //Историко-математические исследования, М., 1975, вып.20

Методологический анализ закономерностей развит математики, М., 1989

Бейлинсон А.А. Математические структуры и структура математики

А Гротендик Современная математика: методологические и мировоззренческие проблемы. М., 1987

Логика. История логики. Современная логика:

Черч А. Введение в математическую логику. М.: ИЛ, 1960.

Клини Ст. Введение в метаматематику. М., 1966

Клини С.К. Математическая логика. М.: Мир, 1973

Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. М.: Мир, 1994.

Барвайз Дж. (ред.) Справочная книга по математической логике. Часть 1, Теория моделей. М.: Наука, 1982. Часть 4, Теория доказательств и конструктивная математика. М.: Наука, 1983.

Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.: ИЛ, 1947.

Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. – М.: Наука, 1967. Гл.5.

Попов П.С. История логики нового времени. – М.: МГУ, 1960. Особенно гл.V (Лейбниц и логицизм).

Кузичева З.А. Математическая логика // Математика XIX. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1978. Гл. 1. Особенно – раздел о Лейбнице.

Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. М.: Наука, 1987.

Катленд Н. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных функций. М.: Мир, 1983.

Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973.

Линдон Р. Заметки по логике. М.: Мир, 1968.

Фейс Р. Модальная логика. М.: Наука, 1974.

Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984.

Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968.

Зиновьев А.А. Философские проблемы многозначной логики. М., 1960

Ивлев Ю.В. Модальная логика. М., 1991

Ивин А.А. Логика норм. М., 1973

Карри Х. Основания математической логики. М., 1980

Неклассическая логика. М., 1970

Смирнов В.А. Логические методы анализа научного познания. М., 1987

Смирнова Е.Д. Логическая семантика и философские основания логики. М., 1986

Allwood J., Anderson L., and Dahl O. Logic in Linguistics. Cambridge: Cambridge University Press, 1977.

Gabbay D. et al. Handbook of Logic in Artificial Intellegence and Logic Programming. Oxford: Oxford University Press, 1990.

Epstein R.L. The semantic foundations of logic. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1990.

Curry H.B. Calculus and formal systems //Dialectica. - 1958. V.12. - N.3. - P.249-273.

Математическая логика и ее применения М., Мир, 1965

Хинтикка Я. Логико - эпистемологические исследования. М.: Прогресс, 1980. - статьи: a. Информация, дедукция и a priori. - С. 158-181; b. Поверхностная информация и глубинная информация. С. 182-228.

Современная логика и методологии науки. М.: МГУ, 1987: см. статьи a) Смирнова Е.Д. К вопросу о природе логического знания; b) Войшвилло Е.К. Логическое следование, возможные миры и вопрос об информативности законов логики.

Брюшинкин В.Н. Логика, мышление, информация. Л.: ЛГУ, 1988.

Брюшинкин В.Н. Парадигмы Канта: логические формы //Кантовский сборник вып.10, Калининград, 1985 С.30-40

Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М., 1959.

Альтернативные логики и семантики

Да Коста Ньютон Философское значение паранепротиворечивой логики //Философские науки, 1982 N4 С.114-126 (понятие "девиантной", альтернативной логики).

Н.А.Васильев Воображаемая логика Москва, Наука, 1989 //Логос. 1912-1913. N 1-3. С.53-81.

Г.Х. фон Вригт Логико-философские исследования М., Прогресс, 1986

А.Т.Ишмуратов, А.С.Карпенко, В.М.Попов О паранепротиворечивой логике //Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик М: Наука, 1989.-C.254-289

Р.Сушко Не-фрегевская логика и теории, основанные на ней //Неклассическая логика М., Наука, 1970 С.349-383

Грифцова И.Н. К вопросу о смысле и значении в не-фрегевских логиках //Логические проблемы исследования научного знания М., МГУ, 1980, С.109-114

Бохман А.Н. О мереологических теориях и их применениях //Логические проблемы исследования научного знания М., МГУ, 1980. — С.124-132

А.В.Бессонов Предметная область в логической семантике Новосибирск Наука 1985

Логический подход А. Уемова — системы ЯТО:

И Н Сараева О В Николенко Неопределенность в концептуальном базисе эротетических ЯТО-исчислений //XI Международная конференция "Логика, методология и философия науки", М-Обниниск, 1995, Т.II, С.66-68

Уемов А И Логическая формализация отношений, выражаемых артиклями //Логический анализ естественных языков: советско-финский коллоквиум по логике М., ИФРАН, 1979, С.99-103.

А И Уемов К проблеме альтернативы теоретико-множественному подходу к построению логических систем //XI Международная конференция "Логика, методология и философия науки", М-Обниниск, 1995, Т.II, С.80-84

А.И.Уемов Построение логики высказываний без принципа утверждения //Неклассическая логика М., Наука, 1970 С.297-332

Уемов А И Системный подход и общая теория систем М., Мысль, 1978

Уемов А И Основы формального аппарата параметрической общей теории систем //Системные исследования. Ежегод. 1984 М., Наука С.152-181

А.И.Уемов Построение логики высказываний без принципа утверждения //Неклассическая логика М., Наука, 1970 С.297-332

Математическое творчество. Математическое доказательство. Теория поиска вывода

И.Лакатос Доказательства и опровержения,

Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М.: Наука, 1983.

А.Пуанкаре "Математическое творчество" //О науке 1983, С. 309-320; А. Пуанкаре Интуиция и логика в математике

Ж.Адамар "Исследование психологии процесса изобретения в области математики", М., 1983

Д. Пойа Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1975.

Ю.Манин Доказуемое и недоказуемое. М.: Сов.радио, 1979.

Е.Л. Фейнберг Интуиция. Логика. Искусство М., Сов. радио, 1981; Его же. Две культуры М., 1992; см. его статью в: «Вопросы философии», 1986, N8.

В.Ф. Асмус Проблема интуиции в философии и математике М., 1965

Ж. Дьедонне Абстракция и математическая интуиция //Математики о математике. М., 1982.

В.А.Успенский О доказательстве //Закономерности развития современной математики, 1987

А.М. Анисимов ЭВМ и понимание математических доказательств //ВФ, 1987, N 3 (+ см. другие его статьи и книги)

Биркгофф Г Математика и психология М., Сов радио, 1977

Работы С.Ю.Маслова:

С.Ю.Маслов Теория дедуктивных систем и ее применения. М., Сов.радио, 1986.

С.Ю.Маслов Асимметрия познавательных механизмов и ее следствия //Вопросы семиотики, 1983, вып.20 С.3-34

С.Ю.Маслов Теория поиска вывода и вопросы психологии творчества //Вопросы семиотики, 1979, вып.13 С.17-47

Теория множеств. Ее различные варианты. Альтернативы:

Г.Кантор Труды по теории множеств, М., Наука, 1985

Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств.

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.

Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: ОНТИ, 1937.

Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968.

Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики. М.: Мир, 1983.

Ю.А.Шрейдер Понятия математики и объекты науки //ВФ, 1974 N 2 + Сложные системы космологические принципы //Системные исследования, 1975 С.149

Классическая versus компьютерная математика: Gurevich Y. Logic and the challenge of computer science //LMPS'87, ABSTACTS. - 1987. Vol.5. Part 1. P.144- 147.

Программы обоснования математики:

Г.Фреге Избранные работы.

Б.Рассел. == Работы

Д.Гильберт === Работы

Гейтинг А. Интуиционизм. М.: Мир, 1965.

Панов М.И. Методологические проблемы интуиционистской математики. – М.: Наука, 1984

А.Марков О конструктивной математике //Закономерности развития современной математики, 1987,

Н.А.Шанин О конструктивном понимании математический суждений //Труды МИАН, 1958, т.52

Онтологические допущения, философия, язык:

Смирнов В.А. Логические методы анализа научного познания. М., 1987

Смирнова Е.Д. Логическая семантика и философские основания логики. М., 1986

У. Куайн Онтологическая относительность //Современная философия науки (хрестоматия). М., 1996; У. Куайн Вещи и их место в теориях //Аналитическая философия: становление и развитие. — М., ДИК, 1998. — стр. 322—342 (сервер www.philosophy.ru/library/physics).

Статьи Б. Уорфа и Э. Сепира по гипотезе языковой относительности (+ комментарий С. Катречко)

Р. Карнап Эмпиризм, семантика и онтология //Его же. Значение и необходимость (исследования по семантике и модальной логике). М., 1970 .— www.philosophy.ru/library/physics)

М.А.Розов Способ бытия математических обьектов //Методологические проблемы развития и применения математики, М.,1985

Э. Кассирер Познание и действительность (понятие о субстанции и понятие о функции). М., 1998 .

Э. Гуссерль Логические исследования (Т.1); Его же. Начало геометрии.

Субботин А.Л. Лейбниц, Кант и их принципы философии математики // Философия в современном мире: Философия и логика. – М.: Наука, 1974. С.35-54.

Философская энциклопедия. Т.1-5. М., 1960-70. [Статьи: Абстракция, Аксиоматический метод, Антиномия, Апория, Время, Геометрия, Доказательство, Зенон, Интуиционизм, Конвенционализм, Логицизм, Логический позитивизм, Математика, Номинализм, Софизм, Финитизм, Формализация, Элейская школа, Эффективизм.]

П.П. Гайденко Эволюция понятия науки (кн.1.и кн.2 – с разными подзаголовками) //Ее же. История греческой (новоевропейской) философии в ее связи с наукой (есть на сервере).

Теоремы об ограниченных возможностях формализмов. Формулировки. Интерпретации:

Клини Ст. Введение в метаматематику. М., 1966

Смирнова Е.Д. Логическая семантика и философские основания логики. М., 1986 (+ другие работы)

Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. М.: Мир, 1994.

Успенский В. А. Теорема Гёделя о неполноте. М., 1982.

Нагель Э., Ньюмен А. Теорема Геделя, М., 1970

М.Гэри, Д.Джонсон ЭВМ и труднорешаемые задачи

Манин Ю И Теорема Геделя //Природа, 1975 N 2 С.80-87

Манин Ю И Доказуемое и недоказуемое М., Сов.радио, 1979

Манин Ю И Вычислимое и невычислимое. М., Сов. радио, 19=?

Есенин-Вольпин А.С. Формулы и формулоиды //XI Международная конференция "Логика, методология и философия науки", М-Обниниск,1995, Т.I, С.29-33 (см. сервер ../physics)