В.А.Успенский

Философия математики

1. Предмет и метод математики.

Понятие о математической абстракции. Соотношение идеального и реального в математике. Место математики в современной жизни. Роль математических методов в лингвистике.

2. Краткий обзор истории математики от древнейших времен до наших дней.

Четыре периода истории математики по А.Н.Колмогорову: 1) период зарождения математики; 2) период элементарной математики; 3) период математики переменных величин; 4) период современной математики.

3. Влияние математики на философию и логику.

Апории Зенона Элейского. Пифагор и пифагорейцы; зарождение идеализма. Платон и платонизм; учение о самостоятельном бытии идей. Гносеологические взгляды рационалистов. Представление об априорности восприятия пространства и времени у кантианцев. Логический позитивизм и роль математики в его становлении.

4. Три кризиса оснований математики:

1) древний, связанный с осознанием непрерывности (Пифагор, элеаты); 2) новый, связанный с некритическим использованием бесконечно малых величин (начало XIX века); 3) новейший, связанный с появлением математических антиномий.

5. Основные логические антиномии:

антиномия Рассела, антиномия Кантора, антиномия Бурали-Форти. Основные синтаксические антиномии: антиномия Ришара, антиномия Берри, антиномия Греллинга, антиномия лжеца. Парадокс кучи и общее понятие парадокса в сопоставлении с понятием антиномии. Паралогизмы и софизмы.

6. Проблема реальности математических объектов. Соотношение конечного и бесконечного. Финитаризм.

7. Направления в философии математики:

логицизм, конвенционализм, эффективизм, интуиционизм, номинализм.

8. Проблема соотношения реального физического мира и его математических моделей.

Космологические гипотезы и их отражение в моделях геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского. Проблема ограниченности/неограниченности, дискретности/непрерывности, ориентируемости/неориентируемости в физике и в математике. Учение Эйнштейна - Фридмана об ограниченной, искривленной, расширяющейся вселенной. Проблема числа измерений в физике и математике.

9. Понятие доказательства в математике и его развитие

от Древнего Египта до наших дней. Зарождение дедуктивного метода в Древней Греции. Евклид и его «Начала». Современное представление о доказательстве. Николай Бурбаки и его «Начала математики».

10. Общее представление о неформальном аксиоматическом методе.

Математические структуры и математические модели. Основные алгебраические структуры как модели. Элементарная аксиоматика натурального ряда, ее стандартная и нестандартная модели. Аксиоматика Пеано и ее категоричность; проблемы, возникающие в связи с неэлементарностью аксиом.

11. Дедуктивное построение геометрии:

от Евклида к Лобачевскому и Гильберту. Неевклидовы геометрии.

12. Аксиома Архимеда

и ее влияние на построение математики. Неархимедово пространство в физике и математике.

13. Понятие о нестандартном математическом анализе.

Актуальные бесконечно малые и бесконечно большие величины в трактовке Лейбница и Эйлера и в современном понимании. Множественность математических моделей реального физического мира.

14. Общее представление о формальном аксиоматическом методе

и его гносеологических возможностях. Формализация арифметики и теорема Геделя о неполноте. Формализация теории множеств и неразрешимость проблемы континуума.