О стиле в математике

Стиль в математике - мы употребляем это словосочетание,

как правило, не уточняя его смысл, понимая его по аналогии со

стилем в литературе и искусстве. В "Толковом словаре русского

языка" под редакцией Д.Н.Ушакова [1] (1) слово "стиль", проис-

ходящее от греческого stylos (буквально - заостренная палочка

для писания на навощенных дощечках), трактуется и как "сово-

купность художественных средств, характерных для произведений

искусства какого-либо художника, эпохи или нации", и как "сис-

тема языковых средств и идей, характерных для того или иного

литературного произведения, жанра, автора или литературного

направления", и как "способ, манера словесного выражения мыс-

лей" и, наконец, с пометой - "перен.", как "характерная манера

поведения, метод деятельности, совокупность приемов какой -ни-

будь работы". Естественно и стиль в математике понимать как

совокупность математических средств и идей, характерных для

работ какого-либо математика, математической культуры (если

речь идет о временах достаточно от нас удаленных), школы или

направления.

Если говорить о математике XVIII-XX вв., то очень трудно,

на наш взгляд, с какой-либо определенностью говорить о нацио-

нальном математическом стиле (скорее всего такое понятие по-

просту лишено отчетливого смысла), но вполне возможно говорить

о стиле присущем школе, направлению, отдельному крупному уче-

ному.

Конечно, стиль (здесь и далее мы будем иметь в виду, не

оговаривая этого каждый раз специально, о стиле в математике)

определяется более фудаментальными категориями, ориентирован-

ными на глубинное понимание сути математики и математических

структур, целей и задач математического творчества, наконец,ее

методов. Однако, стиль - характеристика объективная, требующая

серьезного анализа, на который настоящая заметка претендовать

не может. Мы ограничимся лишь некоторыми соображениями, имею-

щими, на наш взгляд,общий интерес,хотя и возникшими в связи со

специальными вопросами истории математики в России.

Начну с анекдота. Известно, что петербургские математики

последней трети XIX - начала XX века свысока и с нескрываемым

пренебрежением взирали на труды своих московских коллег. И

когда последние занялись новой, возникшей во Франции, теорией

функций действительного переменного, считали хорошим тоном от-

пускать на счет этих занятий, которые рассматривали как пустя-

ковые, язвительные замечания. Рассказывают, что знаменитый Пе-

тербугский математик академик В.А.Стеклов брал в руки

диссертацию восходящей московской звезды Н.Н.Лузина, написан-

ную в русле этой новой тематики, знаменитый "Интеграл и триго-

нометрический ряд" и, листая ее, риторически вопрошал:"Где же

здесь формулы?" И на основании недостаточного , с точки зрения

петербуржца, их числа заключал: "Это же не математика, это ка-

кая-то философия!" Что с точки зрения ортодоксального петер-

буржского математика являлось оценкой самой уничижительной!

Большей бессмыслицей, чем философия, по мнению петербургских

позитивистов, было разве только богословие. Математический

текст, с их точки зрения, должен состоять преимущественно из

формул.

Таким образом, даже не вникая в содержание, по одному ви-

ду текста, он считал возможным сделать заключение о его мате-

матической несостоятельности.

Скорее всего этот случай - выдумка (хотя - кто за это мо-

жет поручиться?), причем выдумка самих москвичей,окарикатурив-

ших одного из тогдашних петербуржских столпов. Но для нас это

обстоятельство особой роли не играет, так как анекдот этот

очень рельефно выделяет отличие стиля московских и петербург-

ских математических работ, за которым (это-то и вызывает разд-

ражение героя анекдота, названного именем Стеклов) скрываются

глубокие принципиальные различия.

Стиль вторичен, ему можно и подражать. Математик, как и

живописец, может выполнить работу не в свойственном ему стиле

- это может быть сознательной стилизацией или, в случае, если

работа выполнена второстепенным мастером,бессознательным чисто

подражательным актом - например, при попытке доказать тот или

иной результат по известному образцу.

Тем не менее стиль - объективный признак характерный для

творчества крупного математика или математической школы. В ко-

нечно итоге, он является внешним выражением и мировоззренчес-

ких установок, и понимания предмета, и методов математики.

Рассмотрим в связи с этим конфронтацию петербургской и москов-

ской математических школ в последней трети XIX - начале XX вв.

Повесть о двух городах

Во второй половине века основными центрами математической

жизни в России были столицы - Петербург(где еї средоточием вы-

ступала Императорская Академия Наук) и Москва, где тон зада-

вал Московский Университет. Основным содержанием петербургской

математической жизни стала деятельность переехавшего из Москвы

П.Л.Чебышева и сформировавшейся вокруг него школы, известной

как Петербургская школа Чебышева. Эта школа,прославившаяся вы-

дающимися результатами в теории наилучшего приближения функций

(Е.И.Золотарїв, А.А.Марков, В.А.Марков и др.), в теории чисел

(А.Н.Коркин, Е.И.Золотарїв, А.А.Марков, Г.Ф.Вороной и др.), в

теории вероятностей (А.А.Марков, А.М.Ляпунов и др.), в матема-

тической физике и теоретической механике (А.М.Ляпунов,В.А.Сте-

клов, Н.М.Гюнтер и др.), получила всемирную известность и при-

знание. Для исследований этой школы характерны - 1) ярко выра-

женный прикладной характер (исключением служит теория чисел -

область традиционная для петербуржцев со времїн Эйлера),2) по-

стоянное стремление к строгому и одновременно эффективному ре-

шению математических задач, к построению алгоритмов, позволяю-

щих доводить решение задачи либо до точного числового ответа,

либо до пригодного приближїнного решения, 3) стремление к про-

стоте и элементарности используемых средств. Такая направлен-

ность деятельности школы определяла известное недоверие к но-

вомодним направлениям западной математики (в частности, нова-

торские идеи Римана оценивались как математический декаданс),

к новым веяниям в основаниях математики. При этом общее осмы-

сление математики и еї места в мире носило позитивистский ха-

рактер. "Мы решаем конкретные задачи, конкретными строгими ме-

тодами (строгость понималась в смысле возможно точного устано-

вления пределов погрешностей используемых методов) и никакого

философского тумана (скажем, в стиле Г.Кантора) не потерпим".

Математическая жизнь в Москве определялась ритмом задава-

емым Московским Математическим Обществом,организованном в 1864

году при Московском Университете и издававшем специальный ма-

тематический журнал "Математический сборник".В последней трети

века здесь сформировался крупный научный центр, исследования

которого в некоторых направлениях получили признание в Европе.

Прежде всего это работы по теоретической механике и прикладной

математике (Н.Е.Жуковский), по геометрии (прежде всего диффе-

рециальной - К.М.Петерсон,Д.Ф.Егоров), теории чисел (Н.В.Буга-

ев), теории аналитических функций (П.А.Некрасов), теории веро-

ятностей и еї приложениям (в первую очередь к социальным нау-

кам - П.А.Некрасов). Для работ москвичей характерны - интерес

к прикладной тематике, приверженность к ясным геометрическим

конструкциям, склонность к философии. Последнее дало основание

называть школу, сформировавшуюся в Москве в последней трети 19

- начале 20 столетия философско-математической.Эта философская

заинтересованность москвичей, носившая ярко выраженный антипо-

зитивистский характер,а также интерес к геометрическим пробле-

мам, мало занимавшим петербуржцев, породило сложный конфронта-

ционный характер взаимоотношений московских и петербургских

математиков,сохранявшийся вплоть до 30-ых годов 20 века (впро-

чем,эту конфронтацию следует рассматривать и в общем контексте

культурного противостояния двух столиц ). Разумеется, моло-

дых честолюбивых москвичей никак не устраивало положение мате-

матиков, если даже в Европе и признанных, то уж во всяком слу-

чае не в качестве лидеров направлений, определяющих лицо сов-

ременной математики.И они искали тематику, которая бы позволи-

ла им выйти на передовые рубежи тогдашней науки.В то же время

эта тематика должна была лежать в стороне от интересов петер-

буржцев. И этой тематикой стала теория функций действительного

переменного- направление,родившееся в 90-е годы в трудах фран-

цузских математиков Э.Бореля, Р.Бэра и А.Лебега и основывающе-

еся на столь нелюбимой в Петербурге теории множеств Г.Кантора

("это не математика, - говаривали там про теорию множеств, -

это теология"). Выбор сделанный Д.Ф.Егоровым был естественным

ещї и потому, что его учитель Н.В.Бугаев, начиная с 60-ых го-

дов выступал активным проповедником построения теории разрыв-

ных функций и предложил собственный (правда, неудачный) вари-

ант такой теории - аритмологию. Не отпугивали,а скорее привле-

кали москвичей и теологические одежды некоторых построений

Г.Кантора. В 1911 году в Comptes Rendus Академии Наук Франции

появилась заметка Д.Ф.Егорова, содержащая одноименную теорему,

а в следующем году в том же журнале была опубликована статья

его ученика Н.Н.Лузина о С-свойстве. Этими событиями принято

датировать рождение Московской школы теории функций Егорова-

Лузина,первое поколение учеников которых (Д.Е.Меньшов, А.Я.Хи-

нчин, В.С.Фїдоров, М.Я.Суслин,П.С.Александров, В.И.Вениаминов,

В.В.Степанов, И.И.Привалов) сформировалось уже до революции

1917 года. Следует заметить, что реакция петербуржцев на дея-

тельность школы Егорова-Лузина долгое время была высокомерно

негативной. Об этом - приведенный выше анекдот о реакции

В.А.Стеклова на диссертацию Н.Н.Лузина "Интеграл и тригономет-

рический ряд". Другой выдающийся деятель петербургской школы

академик Я.В.Успенский в письме к А.Н.Крылову, написанном в

1926 г., дал такую оценку Н.Н.Лузину: "Относительно Лузина я

знаю, что он хороший специалист в своей области (теория мно-

жеств и связанная с нею канторовско-лебеговская дребедень),

блестящий профессор, создавший в Москве школу своих учеников

и своим влиянием упразднивший настоящую математику в Москве"

[2, С.193]. Число таких примеров можно умножить. Для нас ясно

одно - в основе конфронтации лежали серьезные идеологические

противоречия. Эти противоречия приводили к постоянным столкно-

вениям, к взаимному отчуждению математиков обеих столиц, нако-

нец, к появлению стилистических особенностей, по которым можно

было угадать приверженность автора текста.

Особенности эти проявлялись даже в мелочах. Например, в

терминологии. Москвичи говорили - "теория функций действитель-

ного переменного", тогда как петербуржцы - "...вещественного

переменного". Дальше уже больше - позитивистская направлен-

ность петербургских лидеров, их сугубо прикладная ориентация

приводили к тому, что даже чисто геометрические исследования

оставались за пределами их активного интереса. Если москвичи с

удовольствием и с успехом развивали дифференциальныую геомет-

рию, то петербуржцы эту тематику открыто игнорировали. Даже

комплексное переменное оказалось для них слишком умозрительным

объектом и в своих конкретных исследованиях они старались без

них обходится (2)

Совершенно естественным поэтому был для них отказ от кан-

торовской теории множеств. А если принять во внимание фило-

софско-богословские фрагменты в сочинениях Г.Кантора, то можно

понять и ту неприязнь, которую они к ней испытывали (напомним

слова Успенского, процитированные нами выше!).

Москвичи же вовсе не были ориентированы исключительно на

математику, имеющую приложения, хотя прикладной математикой с

успехом занимались. При этом выдающиеся прикладники-москвичи,

такие как Н.Е.Жуковский и его ученики, живо интересовались фи-

лософией и богословием (вспомним интерес все того же Н.Е.Жу-

ковского к штудиям молодого П.А.Флоренского). Позитивистский

дух Петербурга не позволил лидерам школы по достоинству оцени-

вать новые математические направления, нацеленные не на непос-

редственные приложения, а на решение некоторых общих, по су-

ществу,философских проблем. Если москвичи с активным интересом

относились к подобной тематике (см., например, реакцию Н.Н.Лу-

зина на логические работы Н.А.Васильева [3, с.137-138]),то для

петербуржцев такой энтузиазм выглядел дурным тоном.

Наконец, московские математики даже в математических

работах могли допустить отступления философского характера (их

можно встретить и у Н.В.Бугаева, и у Н.Н.Лузина), то петер-

буржцы, как правило, до этого "не опускались". А уж тем более

петербургскому математику и в голову не могло придти пуститься

в философские спекуляции, что охотно делали москвичи (3).

Стиль школы во многом определяется стилем ее руководите-

ля. Так очень многое, что мы сказали о петербургском стиле,

можно отнести к стилю самого Чебышева. Ясный, организованный

вокруг аналитической выкладки (можно даже сказать - к выкладке

почти и сводящийся), лишенный философских отступлений,и ,еще

раз подчеркнем, носящий сугубо аналитический характер.

С москвичами дело обстоит сложнее.Тексты Егорова и Лузина

стилистически очень разные. Очень сухой, лишенный отступлений

(за исключением превосходных, как правило, исторических введе-

ний) (4), текст Егорова и более пространный с отступлениями

исторического и философского характера эмоциональный (5) текст

Лузина. Многие особенности их стилей перенимают и их ученики.

При этом очень хорошо видно - под чьим преимущественным влия-

нием находился тот или иной из их учеников.

Интересной стилистической особенностью москвичей стала

виртуозная техника построения контрпримеров - именно к такому

жанру относятся многие известные их достижения (6).

Проблема стиля в математике не только не изучена, но даже

толком не поставленный. Ее изучение поможет понять и особен-

ности процесса развития математики как на макроуровне (уровне

школ, направлений), так и на уровне творчества отдельного уче-

ного.

Примечания

1. Я выбрал этот словарь только по причине удобства - именно

он стоит рядом с моим письменным столом.

2. Известные исключения (вроде теормы Сохоцкого) лишь подтвер-

ждают правило.

3. Попытку высказаться на общие темы предпринял,правда,однажды

сам В.А.Стеклов,выступивший в 1923 г. с брошюрой "Математика и

ее значение для человечества" - сочинением примитивно позити-

вистским, выглядящим (особенно, по контрасту со славным именем

автора) попросту убого.

4. Егоров, чрезвычайно интересовавшийся вопросами философии и,

особенно, богословия, считал предосудительным обсуждать их в

математических работах - математика отдельно, философия от-

дельно.

5.Скрытые за буквой текста эмоции редко вырываются наружу,обы-

кновенно они лишь только угадываются. Оценить силу этих эмоций

в ряде случаев позволяет сохранившаяся в связи с тем или иным

текстом переписка. Так очень много дает для понимания авторс-

ких переживаний в связи с текстом учебника Гренвиля-Лузина не-

давно опубликованные письма Лузина к М.Я.Выгодскому [4].

6. Пример Д.Е.Меньшова тригонометрического ряда с коэффициен-

тами, не равными нулю, сходящегося к нулю почти всюду (1916),

опровергший гипотезу о единственности тригонометрического ря-

да, сходящегося почти всюду к данной функции, построенный М.Я.

Суслиным (1916) знаменитый пример А-множества, не являющегося

В-множеством, пример М.А.Лаврентьева (1925) дифференциального

уравнения вида y` = f ( x, y ) с непрерывной правой частью, у

которого в любой окрестности каждой точки области определения

функции f через эту точку проходит не одна, а по крайней мере

две интегральные кривые. Это лишь несколько, сразу пришедших

на ум, придуманных москвичами контримеров. Их число легко ум-

ножить.

Литература

1. Толковый словарь русского языка. Под редакцией Д.Н.Ушакова.

Т.4. М.: ОГИЗ. 1940.

2. Ермолаева Н.С. Новые материалы к биографии Н.Н.Лузина //Ис-

тор.-Математ.Исслед. 1989. Вып.31. С.191-203.

3. Бажанов В.А. Николай Александрович Васильев. М.:Наука,1988.

4. Два письма Н.Н.Лузину М.Я.Выгодского // Истор.-Математ. Ис-

след. 2-я сер. 1997. Вып.2 (37).133-152.