Несколько лет назад, выступая на одном из заседаний Всероссийского семинара по философии математики, я говорил о "социо-культурных запретах", препятствовавших возникновению математических теорий на тех или иных этапах развития математики. В качестве примера приводились три высказывания Аристотеля: "О случайном не может быть знания через доказательство", "Актуально-бесконечного не существует", "Математические науки чужды движению, за исключением тех, которые относятся к астрономии". Я утверждал, что эти слова характеризуют тот социо-культурный (и/или, метафизический) контекст развития греческой математики, в рамках которой не могли возникнуть такие теории как теория вероятностей, анализ бесконечно малых и теория геометрических преобразований на плоскости и в пространстве, хотя соответствующий уровень развития математики (математической техники) и имевшиеся проблемы делали возникновение упомянутых теорий вполне вероятным. Речь разумеется не шла о том, что философия в лице Аристотеля "запрещала" возникновение математических теорий, на самом деле Аристотель лишь констатировал сложившийся социо-культурный контекст развития математики, признававшийся, по всей видимости и теми учеными, которые будучи математиками-профессионалами стояли достаточно далеко от метафизических дискуссий того времени. Однако, само выражение "социо-культурные запреты" вызвало достаточно резкие возражения вследствие предполагаемой им жестко детерминированной взаимосвязи между социо-культурным контекстом и фактическим развитием математики. Эти возражения показались мне в достаточной мере справедливыми по двум причинам. Во-первых, существуют историко-математические факты (например, математическая деятельность Демокрита), которые свидетельствуют о том, что "социо-культурные запреты" не обладают непререкаемым авторитетом, и, во-вторых, преодоление социо-культурных ограничений часто бывает обусловлено не столько изменениями социо-культурного контекста , сколько существенно внутриматематическими причинами.

Более подходящим термином (или более удачной метафорой) в контексте этих размышлений представляется понятие "круга" (социо-культурного и/или метафизического), введенное выдающимся французским математиком А.Гротендиком в его философско-математическом эссе "Урожаи и посевы. Размышления о прошлом математика". Остановимся на его идеях несколько подробнее.

По мнению Гротендика большинство математиков ограничивают себя жесткими понятийными рамками, затворившись во Вселенной, обустроенной раз и навсегда, а именно в том универсуме, который они нашли тогда, когда принимались за свои научные изыскания. Получив в наследство большой, красиво обустроенный математический дом со всеми удобствами, гостиными, кухнями, мастерскими и общедоступными инструментами, они и не задумываются, почему и как были задуманы и изготовлены инструменты, которыми они пользуются, почему комнаты размещены и благоустроены так, а не иначе. При этом Гротендик замечает, что подобная ситуация, не является специфичной лишь для математики. С подобным положением дел можно столкнуться в любой из сфер человеческой деятельности с незапамятных времен.

Но существуют математики , к числу которых Гротендик (и, надо сказать, не без оснований) относит и себя самого, чьим призванием является беспрестанная жажда строительства новых домов. И как бы прекрасно и гармонично не были устроены имеющиеся вселенные, этим ученым претит дальнейшее благоустройство построенных трудами предшественников (или даже ими самими) математических дворцов, они стремятся к открытию новых, непривычных миров. К такого типа математикам Гротендик относит прежде всего Галуа, Римана и Гильберта. Среди своих современников Гротендик причисляет к их числу одного из своих учителей Ж.Лере.

Говоря о математиках, не принадлежащих к числу избранных, Гротендик отмечает, что им часто удавалось получать значительные, порой очень красивые результаты, однако эти результаты находились в рамках уже завершенного контекста. Эти ученые, не подозревая о том, так и остались узниками "кругов невидимых и властных", установленных в качестве своеобразных границ для математической Вселенной в данную эпоху и в данной среде. Они и не помышляли о том, чтобы затронуть эти границы. Для того, чтобы переступить их, считает Гротендик, ученый должен был бы вновь обрести дарованную ему при рождении способность быть одному. Другими словами, способность самостоятельно анализировать проблемы не доверяя вербально или по умолчанию общепринятым представлениям, способность не становиться добровольным узником тех кругов, которые в каждую эпоху ограничивают горизонт творчества. В процессе познания Вселенной (в том числе и ее "математического среза"), утверждает Гротендик, только невинность, и ничто другое, наделяет нас реформаторской властью. Это та первоначальная невинность, которая дана человеку от рождения, которая порой неявно обитает в каждом из нас, являясь зачастую объектом нашего же презрения и тайного страха. Одна лишь невинность, по убеждению Гротендика, объединяет смирение и смелость, благодаря которым человек оказывается способным проникнуть в суть "вещей", и, с другой стороны, проникнуться ими, впустив их внутрь себя. Эта власть (а отнюдь не особый "дар" подобно исключительной способности рассудка усваивать и управляться легко и ловко с огромной массой известных идей, технических приемов и фактов, а также и не честолюбие, поддержанное непреклонной волей к успеху) позволяет перешагнуть "круги невидимые, но властные", ограничивающие наш творческий горизонт. Это преодоление часто не вполне осознается именно благодаря осуществляющей его невинности.

Но какова природа этих кругов, невидимых ,но властных, о которых говорит французский математик? Отмечая наиболее важные темы своего математического творчества, Гротендик заявляет, что каждая из них является воплощением единого широкого видения, которое может быть обозначено как новая геометрия. "Новизна" этой геометрии заключается в обеспечении синтеза двух миров, до ее появления, хотя и тесно взаимосвязанных друг с другом, но все же отдельных, различных: мира "арифметического" и мира непрерывных величин. В "новой геометрии" эти два мира, некогда отдельные, сливаются в один, сметая существовавшие ранее границы. При этом идею топоса, стоящую в центре "новой геометрии" Гротендик рассматривает как свидетельство фундаментального изменения наших представлений о пространстве. Дело в том, что до появления понятия топоса (конец 50-х годов) эволюция представлений о пространстве происходила в рамках природы самой непрерывности. И лишь идея топоса охватила в общетопологической интуиции как традиционные топологические пространства, олицетворяющие мир непрерывных величин вместе с многообразиями ("пространствами") абстрактной алгебраической геометрии, так и бесконечное множество структур другой природы, до тех пор считавшихся принадлежащими миру арифметическому ("дискретные" или "разрывные" системы). Показательно, что Гротендик сравнивает появление Новой геометрии с возникновением теории относительности Эйнштейна прежде всего потому, что обе концепции демонстрируют фундаментальное изменение наших представлений о пространстве (соответственно о "математическом" и "физическом" пространстве), а также из-за того, что эти концепции охватывают в едином видении множество ситуаций, ранее воспринимавшихся совершенно изолированно друг от друга. Продолжая сравнение с развитием современной физики Гротендик указывает на квантовую механику, в которой материальная точка классической физики уступает место "вероятностному облаку", что символизирует еще более, чем у Эйнштейна, фундаментальное изменение самого способа восприятия явлений. Другими словами, невидимые, но властные круги, ограничивающие горизонт мышления ученого и преодолеваемые учеными-первооткрывателями имеют преимущественно метафизическую природу (представления о пространстве, времени и т.п.), укорененную, возможно, в определенном социо-культурном контексте.

Следует отметить, что выявление социо-культурных и метафизических кругов и анализ процесса их преодоления в развитии науки затруднены настолько, насколько близко находится исследователь к рассматриваемому им фрагменту истории науки. И это не является удивительным, ведь мы сами зачастую являемся пленниками кругов невидимых, но властных, часто унаследованных от не столь отдаленных времен, что, разумеется не способствует адекватному их выявлению и характеризации. Поэтому вернемся к анализу ситуаций, упомянутых в начале данной статьи.

Круг №1: "О случайном не может быть знания через доказательство", или почему теория вероятностей не возникла вплоть до XVII в.

В историко-математической литературе является общепринятым связывать возникновение теории вероятностей как науки со второй половиной XVII . При этом считается что исходным пунктом развития теории послужила переписка между двумя выдающимися математиками Нового времени Ферма и Паскалем. Эта переписка относится к 1654 г. и содержит главным образом решение задач на разделение ставки, связанных с рядом азартных игр.

В письмах, впервые опубликованных в Тулузе в 1697 г., как Паскаль, так и Ферма неявным образом пользовались такими фундаментальными теоретико-вероятностными представлениями, как зависимость и независимость событий, теоремами сложения и умножения вероятностей (не определяя еще самого понятия "вероятность"). Было введено также и такое важное понятие будущей теории вероятностей, как математическое ожидание случайного события (в данном случае выигрыша в игре).

Еще до опубликования этих писем, примерно в 1656-1657 гг., Гюйгенс, узнавший о том, что такие корифеи новой математики, как Ферма и Паскаль, серьезно заняты задачей на разделение ставки, подключился к этим исследованиям и в 1657 г. опубликовал работу "О расчетах в азартной игре" - первое увидевшее свет сочинение по теории вероятностей. В предисловии к этому изданию можно прочитать следующие примечательные строки: "Чем более трудной является задача определения при помощи рассуждений того, что кажется неопределенным и подчинено случаю, тем более наука, которая достигает результата, представляется удивительной. Во всяком случае, я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории (курсив мой -А.Г.)". Значение этой небольшой работы Гюйгенса трудно переоценить. И не случайно, что первая часть работы Я.Бернулли "Искусство предположений", появление которой знаменует окончательное становление новой теории, представляет собой перепечатку и тщательный комментарий упомянутой работы Гюйгенса.

Таковы вкратце историко-научные факты, из которых следует вывод о том, что становление теории вероятностей как науки происходило во второй половине XVII в. (основные теоретико-вероятностные результаты были получены Я.Бернулли в 90-х гг. XVII столетия). В связи с этими фактами интересно было бы разобраться в таком вопросе: является ли возникновение математической науки о случайном именно в XVII в. "случайным событием"? Правомерность этого вопроса обусловлена, с одной стороны, достаточно высоким уровнем развития математики в античности, а с другой стороны, имеющимися сведениями о распространенности как в античности, так и позднее, азартных игр, послуживших в XVII в. источником первых теоретико-вероятностных проблем. Можно ли предположить, что, сумей какой-либо любитель азартных игр в античности (вроде вошедшего в историю теории вероятностей кавалера де Мере) привлечь внимание крупных математиков своего времени к задачам на разделение ставки, то наука о случайном могла бы возникнуть намного раньше, чем это произошло на самом деле? Подобное предположение нельзя отметать с порога и потому, что для античности характерно пристальное внимание к проблемам необходимости и случайности, возможности и действительности.

Одним из первых философов античности, рассмотревших проблему необходимого и случайного был Демокрит. Следует отметить, что, реконструкция его позиции затруднена ввиду большого количества зачастую противоречивых сведений поздних авторов, которые характеризуют точку зрения Демокрита по этой проблеме. Уже само по себе такое многообразие мнений говорит о том, что проблема случайного отнюдь не относилась к маргинальным проблемам античной философии.

Проблема необходимости и случайности занимает одно из центральных мест в философской системе Аристотеля. Философ предваряет изложение своей точки зрения обзором мнений предшественников и современников. "Некоторые сомневаются, существует случай или нет. Они утверждают, что ничего не происходит случайно, но что есть некоторая определенная причина для всего того, относительно чего мы говорим, что оно произошло спонтанно и случайно... Но и вот что удивительно: многое и происходит и существует случайно и спонтанно; эти мудрецы хорошо знают, что каждое [из этих событий] можно свести к какой-нибудь причине возникновения, как говорит древняя теория, отрицающая случай, и тем не менее часть [этих событий], по мнению всех людей, происходит случайно, а часть - неслучайно". Примечательно, что здесь Аристотель считает своим долгом соотнести точку зрения философов со здравым смыслом - "мнением всех людей". И не случайно, что точка зрения самого Аристотеля в снятом виде включает в себя "философию здравого смысла". "Уничтожение случая, - пишет Аристотель, - влечет за собой нелепые последствия. Есть многое, что совершается не по необходимости, а случайно... Если в явлениях нет случая, но все существует и возникает из необходимости, тогда не пришлось бы ни совещаться, ни действовать для того, чтобы, если поступить так, было одно, а если иначе, то не было этого". Подобная взвешенная точка зрения, признающая как необходимость, так и случайность, вряд ли преобладала в античности. Большинство античных мыслителей скорее были бы солидарны со Стобеем, утверждавшим, что "люди измыслили идол [образ] случая, чтобы пользоваться им как предлогом, прикрывающим их собственную нерассудительность". Демокриту приписывается тождественное по смыслу высказывание: "Люди сотворили себе кумир из случая как прикрытие для присущего им недомыслия".

В целом философско-методологические представления, так или иначе связанные с теоретико-вероятностными рассуждениями, их значимостью и статусом, можно разделить на три большие группы. Первая группа представлений - назовем их онтологическими - отвечает на вопросы о природе случайного, его месте в структуре реальности, о взаимоотношении случайного и необходимого. Вторая группа представлений отвечает на вопросы теоретико-познавательного характера (гносеологические представления). (Возможно ли, и если да то при каких условиях достижение абсолютно достоверного знания? Имеет ли ценность для науки и философии знание, не обладающее абсолютной достоверностью? Каков статус так называемого вероятного знания?) Третья группа представлений - методологические представления - связаны с характеризацией самой теории вероятностей, выявлением ее места в системе научного знания, определением ее предмета, критериев истинности теоретико-вероятностных утверждений и т. п.

Можно показать, что отличия гносеологических представлений, господствовавших в античности, от возникших в рамках философии и науки Нового времени позволяют понять причины как отсутствия науки о случайном в античности ( и средневековье), так и ее возникновения и бурного развития в XVII-XVIII вв.

Для античной философской традиции характерна принципиальная дихотомия между знанием ( episteme) и мнением ( doxa). При этом под знанием понималась система абсолютно достоверных (истинных) утверждений, доказанных по образцу евклидовой геометрии ( с соблюдением требований евклидовой строгости - утверждения выводятся из очевидных аксиом). Достижение достоверного знания, описывающего ту или иную область материи или духа, объявлялось единственной целью науки. За рассуждениями же, которые не удовлетворяли критериям доказательства геометрического типа, не признавали статуса научности. Выводы, связанные с подобными рассуждениями, относили к разряду мнения. Согласно Аристотелю "предмет знания и знание отличаются от предмета мнения и от мнения, ибо знание направлено на общее и основывается на необходимых [положениях]; необходимое же есть то, что не может быть иначе. Многое же, хотя и истинно и существует, но может быть иным. Ясно поэтому, что о нем нет науки".

Очевидно, что в рамках такой гносеологической позиции невозможно представить себе возникновение науки о случайном, ибо оно не есть то, "что не может быть иначе". Это справедливо даже в том случае, если случайности придается статус объективного существования, что, как мы видели, имеет место у Аристотеля.

Именно Аристотель, как никто другой, убеждает нас в том, что в условиях господства античных гносеологических представлений о достоверности знания, становление теории вероятностей как науки было невозможным. Признание объективности случая не могло навести Аристотеля на мысль о необходимости науки о случайном потому, что он резко "противопоставил логику истины, свойственную теоретическому знанию, логике вероятного и правдоподобного, присущей случайным спорам и обыденной практике". "О случайном, или преходящем, - писал Стагирит, - нет знания через доказательство... Если случайное...не есть ни то, что бывает большей частью, ни необходимое, то для него не может быть доказательства".

Средневековая европейская философия, основывавшаяся на теологически переработанной концепции Аристотеля, также не допускала возможности существования знания, не обладающего чертами абсолютной достоверности, завершенности, окончательности. Соответственно этому и в Средние века случайность, вероятность не стали объектом научного исследования несмотря на то, что в трудах схоластов нашли место интересные философские рассуждения о природе случайного.

Любопытно , что в Средние века (начиная с X-ХI вв.) в связи с распространением азартных игр с использованием игральных костей в различных рукописях встречаются подсчеты количества различных исходов при их бросании. Более того, в 1494 г. в Венеции был издан труд Луки Пачоли (1445 - ок. 1514 г. ) "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности", в котором рассматриваются, в частности, задачи о справедливом разделе ставки между двумя игроками, когда игра прервана до того, как один из играющих выиграл определенное число партий или очков согласно условиям игры. Однако в отличие от Паскаля и Ферма, рассматривавших подобные задачи в XVII в., Пачоли пытался решать их без использования вероятностных соображений (позднее предложенные им решения были признаны неверными).

Таким образом, задачи, решение которых в XVII в. привело к возникновению теории вероятностей, в условиях отсутствия соответствующих гносеологических предпосылок не сыграли той роли, которую им предстояло сыграть позднее. Более того, гносеологический пласт философско-методологических представлений о случайном лишь препятствовал возникновению науки о случайном - теории вероятностей.

Но за счет чего был преодолен этот круг? Как показывает анализ, прежде всего вследствие вполне определенных социо-культурных и соответствующих им метафизических метаморфоз.

"Новый Органон" Бэкона в качестве новой гносеологической позиции, противостоящей перипатетизму, не снимал противопоставления "знание - мнение" в аристотелевском смысле. Однако у Бэкона нет пропасти между episteme и doxa. Напротив, достижение абсолютно достоверного знания "форм" связывается Бэконом с постепенным преобразованием данных опыта из области мнения в сферу знания посредством разработанных им процедур индуктивного метода. Исследовательская программа Бэкона стала программой созданного в 1660 г. Британского Королевского общества.

Однако на пути реализации указанной программы члены Королевского общества столкнулись со значительными трудностями. Исследовательская практика навязывала убеждение в том, что максимально достижимый результат в опытном естествознании - это хорошо обоснованная гипотеза. В дальнейшем эта гипотеза может уточняться за счет привлечения новых фактов, степень ее обоснованности может повышаться, при этом, однако, никогда не достигая уровня достоверности в аристотелевском смысле. Из этой ситуации может быть два выхода: устремиться по пути, указанному скептиками, и воздержаться от научных суждений или переосмыслить само понятие достоверности. Члены Королевского общества выбирают второй путь.

Надо отметить, что на становление вероятностных аспектов гносеологии членов Королевского общества существенное влияние оказали философско-методологические воззрения Декарта. В свете принципиальных отличий декартовского рационализма от английского эмпиризма сам факт упомянутого влияния как нельзя лучше характеризует торжество вероятностной гносеологии XVII- начала XVIII вв.

Согласно Декарту абсолютно достоверное знание возможно лишь о том, что полностью подчинено сознанию. Это - знание, удовлетворяющее критериям ясности и отчетливости для разума и ограниченное пределами математики (в частности, созданной Декартом аналитической геометрии) и метафизическими истинами типа cogito ergo sum. Физический мир, однако, недоступен для абсолютно достоверного познания. Физическое познание, убежден Декарт, - это сфера более или менее вероятных гипотез, следствия из которых должны согласовываться с опытом, хотя последнее не гарантирует их абсолютной истинности. Предельно достижимый уровень достоверного в сфере опытного естествознания - это уровень моральной достоверности, "достаточный для того, чтобы управлять нашими нравами при равной достоверности вещей, в которых мы обычно не сомневаемся, касательно правил нашего поведения, хотя и знаем, что в смысле абсолютном эти правила могут быть и неверны". Любопытно, что Р.Бойль, находившийся под влиянием идей декартовского гипотетизма, полагал, что моральная достоверность достижима на пути согласования или соединения нескольких вероятных суждений.

Проблемы сравнения гипотез по их большей или меньшей вероятности, оценки вероятности гипотезы, полученной на основе соединения или согласования двух или нескольких вероятных гипотез, численной оценки вероятности морально достоверной гипотезы, поставленные в связи со становлением новой, вероятностной гносеологии, настоятельно требовали создания, с одной стороны, соответствующего математического аппарата для необходимых вычислений, и, с другой стороны, построения основ новой, вероятностной логики научного познания. Необходимость создания вероятностной логики вскоре была зафиксирована Лейбницем, также испытавшим существенное влияние картезианства. "Я уже не раз говорил, - писал Лейбниц в "Новых опытах о человеческом разумении...", - что нужен новый раздел логики, который занимался бы степенями вероятности, так как Аристотель в своей "Топике" ничего не дал по этому вопросу".

Таким образом, для создания вероятностной логики оказалось необходимым возникновение математической науки об "оценке случайностей", или исчисления (теории) вероятностей. При этом просто и ясно сформулированные и в то же время достаточно содержательные (в свете целей исчисления вероятностей) задачи, связанные с азартными играми, стали стартовыми проблемами для становления новой теории.

Отметим, что вероятностный круг был абсолютно невидим для античных математиков, они не осознавали в этом отношении какого-либо запрета или ограничения, препятствующего их научным исследованиям. Это справедливо потому, что данный круг носил исключительно внешний относительно математики характер. Социо-культурные основания теоретического знания античности предопределили невозможность появления не только каких-либо вероятностных понятий, но и вообще каких-либо научных проблем, при решении которых такие понятия могли понадобиться. Другими словами, ни одному из античных математиков и в голову не могло прийти рассматривать какую-либо проблему, включающую какие-либо аспекты понятия "случайного". Естественно, что преодоление этого круга произошло без каких-либо сверхусилий со стороны математиков. Более того, становление вероятностной гносеологии Нового времени, ее укорененность в социо-культурном контексте теоретического знания существенным образом подталкивало математиков к разработке необходимого математического аппарата для создания казавшейся крайне необходимой вероятностной логики.

Круг №2: "Математические науки чужды движению, за исключением тех, которые относятся к астрономии"

За этими словами Стагирита стоит более фундаментальное представление, если угодно более фундаментальный метафизический круг, существенно ограничивавший античное математическое мышление. Речь идет о признании фундаментальных различий физического и математического существования, физического и математического мышления. Физические объекты могут изменяться (в частности, находится в движении), оставаясь при этом самими собой, математические же объекты существуют в дискретном пространстве состояний, более точно, каждый из математических объектов тождественен своему единственному и уникальному состоянию, которое в принципе не может быть подвержено какому-либо изменению. Ясно, что никакого представления о переменной величине любой природы (арифметической или геометрической) в античности просто не могло возникнуть. Кроме того, несмотря на наличие собственно математических предпосылок вряд ли возможно было возникновение чего-то подобного теории геометрических преобразований (движений). Греческие математики знали о возможности доказательства теорем с помощью движения и наложения (вспомним хотя-бы про теоремы, доказанные Фалесом). Движения и наложения использовались даже в "Началах", однако, можно вполне определенно утверждать, что Евклид старается избегать этого там, где это только возможно. И хотя с современной точки зрения решение проблемы об удвоении куба Архитом Терентским с помощью, так называемых, механических приспособлений (а на самом деле с помощью представлений о непрерывном преобразовании геометрических объектов) является вполне приемлемым, греческие математики в большинстве своем были на стороне Платона, высмеивавшего подобные доказательства, отказывая им в принадлежности к математике. Здесь следует отметить, что данный круг , по-видимому, не имел значения для доплатоновской (может быть, допифагорейской) математики. Но затем, несмотря на его чисто метафизическую природу, он стал осознаваться математиками как один из аспектов требований строгости математических рассуждений, отступление от которых являлось крайне нежелательным. Таким образом, в отличие от вероятностного круга, круг №2 оказался укорененным в математике, что обусловило значительные трудности в процессе его преодоления. В свете сказанного можно на основании чисто умозрительных соображений встать на точку зрения тех историков науки, которые отрицают факт существования , так называемой "античной геометрической алгебры". Построение алгебры предполагает представление о возможности преобразования (трансляции) одних величин в другие. Но круг №2 отрицал такую возможность для математических величин. Появление же алгебры в рамках "арабской" математической традиции следует объяснять, по-видимому принципиально иным метафизическим и социо-культурным контекстом (данная проблема заслуживает специального и тщательного исследования).

Другой характерный пример. Со времени открытия Менехма античные математики понимали что при пересечении конуса плоскостями под различными углами наклона последовательно появляются все конические сечения. Однако, это не могло служить основанием для объединения данных кривых в один род. В своем трактате о конических сечениях Апполоний, стараясь давать единые доказательства ряда общих свойств (разумеется далеко не всех) конических сечений, пользуется соображениями, связанными с так называемым методом площадей, а не с представлениями о преобразовании этих геометрических образов друг в друга.(Здесь, разумеется стоит упомянуть и о третьем круге античной математики ("Актуально бесконечного не существует"), о которым будет идти речь ниже. Не случайно Харди, говоря о проективной геометрии Дезарга, отмечал что она знаменует первое в истории введение актуальной бесконечности в математику. Ведь именно введение бесконечно удаленных точек и прямых позволили Дезаргу говорить о непрерывном изменении геометрических образов, возникающих при пересечении конуса плоскостью под разными углами наклона.).

Оборотной стороной данного метафизического круга был принципиально качественный характер физики Аристотеля. Поскольку "математические науки чужды движению", движение не может быть описано с использованием математики (небесные движения занимают особое, уникальное положение, поэтому для астрономии греческая наука делает исключение).

Преодоление данного круга ( в европейской математической традиции) начинается в позднем средневековье с попыток сближения математического и физического существования. Я имею в виду прежде всего философско-математическую деятельность мыслителей Оксфордского и Парижского университетов. Именно в Оксфорде Р. Гроссетест и Р.Бэкон впервые в Средние века настаивают на необходимости математизации знания, при этом существенно отходя от античной (пифагорейско-платоновской) традиции, выдвигая принципиальной важности идею количественной структуризации античных натурфилософских представлений о движении. В том же направлении развиваются исследования и в Сорбонне. "Английские (Т.Брадвардин, Р.Суайнсхед и др.), а также французские (особенно Н.Оресм) ученые XIV в., - отмечал А.П.Юшкевич, - предпринимают смелую попытку подвергнуть с помощью инфинитезимальных идей квантификации квалитативную в своей основе натурфилософию перипатетиков. Прежде всего - и это оказалось особенно важным для дальнейшего - по новому осмысливаются те разделы "Физики" Аристотеля, в которых рассматриваются соотношения между силой и движением, силой и сопротивлением; иными словами перестраивается перипатетическая механика; вслед за тем математическому рассмотрению подвергаются любые виды изменения непрерывных, а частью и кусочно-разрывных измеримых величин или, в терминологии перипатетиков, интенсификации - усиления и ремиссии - ослабления всякого рода "форм" или качеств - теплоты, цвета и т.д., но также доброты, греховности и т.п., переменная интенсивность которых зависит от их экстенсивности - распределения интенсивностей на конечных или бесконечных интервалах в пространстве либо времени. К категории форм относится и простейшее механическое движение, т.е. пространственное перемещение". Таким образом, средневековые ученые преодолевают пропасть, лежащую между математикой и естествознанием, преодолевают круг, во власти которого находилось античное мышление. Математика в их представлении не описывает лишь мир вечных и неизменных чисел и геометрических форм, а также и небесных движений, она способна внести свой вклад в понимание закономерностей "форм" изменяющихся. Иными словами в новом социо-культурном контексте математика низвергается с пьедестала "вечности", уступая место теологии, толкующей о действительно вечном и абсолютном. От этого с, одной стороны, выигрывает естествознание, разумеется не сразу, но предпосылки математического естествознания складываются уже тогда, достаточно упомянуть, что в Охсфорде и Париже "формируется идея о переменности - течении (fluxus) величин, о мгновенных скорости и ускорении, для которых вводятся соответствующие, даже латинские, термины и в совершенно отвлеченном, не связанном с физикой плане, доказывается основной закон и другие свойства равномерно ускоренного движения". И, с другой стороны, что для нас особенно важно, допуск в математику представлений об изменении, движении способствует преодолению кругов невидимых, но властных, препятствовавших самой возможности появлению математики, имеющей дело с изменяющимися, перетекающими друг в друга, переменными величинами. Преодоление метафизических представлений, принципиально разводящих математическое и естественнонаучное (механическое и физическое) мышление приводит в конце концов к становлению эмпиристской философии математики, ставшей краеугольным камнем нового метафизического круга, долгое время препятствовавшего, в частности, появлению и признанию неевклидовых геометрий. В то же время радикальный отказ от эмпиристской философии математики привел к образованию очередного круга в рамках которого современная математика находится и поныне.

Здесь следует указать на принципиальные различия в преодолении кругов, доставшихся в наследство от античности (круги №1 и №2) и "эмпиристского" метафизического круга. В первых двух случаях именно изменения социо-культурного и метафизического контекста (процесс, происходивший независимо от развития математики) освобождали математическое мышление от невидимых, но властных ограничений. Эмпиристские же запреты преодолеваются изнутри самой математики, вследствие, в частности, построения интерпретаций непривычных неевклидовых образов на евклидовых объектах, а также понимания того, что новые математические образы оказываются чрезвычайно полезными при решении математических проблем, возникших независимо от новых понятий и концепций. То же самое происходило (и происходит сейчас) когда антиэмпиристский круг местами рвался под натиском математического мышления, изобретательно, но незаконно пользовавшегося физическими соображениями. Правда, как правило, строгие приверженцы математической нравственности восстанавливали статус кво (вспомним, например деятельность ученика Вейерштрасса Шварца, давшего строгое обоснование незаконнорожденному "принципу Дирихле", а также обобщенные функции Дирака и Хевисайда, получившие вскоре после своего появления законный математический статус.). Сам факт поиска таких оправданий свидетельствует о прагматизме математиков нового и новейшего времени, принципиально чуждом математикам античности (достаточно сравнить осторожные высказывания Архимеда по поводу квадрирования криволинейных фигур и прагматизм ученых, отраженном в словах Даламбера по поводу нестрогих инфинитезимальных методов: "Идите вперед, уверенность придет потом!"). И даже в период полного преобладания антиэмпиристской философии математики, использование официально запретных способов рассуждения в математике не прекращается. Более того в последние годы Э.Виттен с помощью интегралов Фейнмана совершенно удивительным образом находит новые инварианты для трехмерных многообразий и т.д. Безусловно, в будущем интегралы Фейнмана будут формализованы, но сейчас их использование требует огромной физической интуиции и опыта. Ю.И Манин пишет по этому поводу : "В предистории интегрального исчисления важное место занимает замечательный труд Кеплера "Стереометрия винных бочек". Интегралы, выражающие объемы тел вращения, полезных в народном хозяйстве, были вычислены в этой работе до появления общего определения интеграла. Математическая теория великолепных интегралов Фейнмана, которые физики пишут в огромных количествах, все еще не далеко ушла от стереометрии винных бочек. С точки зрения математики, каждое такое вычисление есть заодно определение того, что "вычисляется", либо построением текста в формальном языке, грамматика которого заранее не описана. В процессе таких вычислений физик спокойно делит или умножает на бесконечности (точнее на нечто, что если бы оно было определено, оказалось бы бесконечным); суммирует бесконечные ряды бесконечностей, предполагая при этом, что 2-3 члена ряда дают хорошее приближение ко всему ряду, и вообще живет в царстве свободы, нарушая все "моральные нормы". Но можно ли в таком случае утверждать, что статус социо-культурных и метафизических кругов начиная со второй половины XIX века радикально изменился? Можно ли сказать, что они потеряли былую жесткость и непререкаемость в глазах математического сообщества? Для того, чтобы прояснить эту ситуацию обратимся к третьему из указанных в начале статьи кругов.

Круг №3: "Актуально бесконечного не существует".

Аксиома Евдокса об "архимедовых" величинах ("Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга") предназначена не только для легализации отношений между несоизмеримыми отрезками, но также и для того, чтобы исключить из математики как актуально бесконечно малые, так и бесконечно большие величины. Таким образом, в лице Евдокса, греческая математика сознательно ограничивает множество объектов, оперирование с которыми является допустимым. Другими словами, данный круг возникает изнутри математики в качестве средства, позволявшего застраховаться от парадоксов бесконечного, возможность появления которых для греческих математиков стала очевидной в свете апорий Зенона Элейского. Одними из наиболее интересных объектов, оставшихся за границами этого круга были роговидные углы. Поскольку роговидные углы (например, угол, образованный окружностью и касательной к ней) меньше любого, сколь угодно малого прямолинейного угла, постольку они оказались под запретом, несмотря на то, что греческим математикам были известны ряд их свойств. Особенность данного круга как раз и состоит в его совершенно отчетливой осознанности математиками-профессионалами, что вело к использованию "запретных объектов" и связанных с ними рассуждений в качестве эвристического средства получения новых результатов. Подчеркнем, что истинность, полученных "незаконным" путем результатов не подвергалась сомнению. Доказательство в этих случаях было равносильно соблюдению необходимых формальностей, поскольку оперирование (не только в качестве эвристического средства но и в контексте обоснования) актуально бесконечно малыми (неделимыми), впервые имевшее место в "любительских" с точки зрения математика-профессионала работах Демокрита считалось признаком дурного тона. При этом статус инфинитезимальных рассуждений оценивался выше тех, которые основывались на "механических" аналогиях, поскольку выход за пределы круга №3 не выводил за пределы математики( в отличие от выхода за пределы круга №2), хотя мог признаваться допустимым лишь в контексте открытия новых фактов, но никак не в контексте их обоснования. Заметим, что круг №3, сформировавшийся, как уже было отмечено изнутри математики (в отличие от круга №2, имевшего метафизическую природу и круга №1, сформированного сочетанием метафизических и социо-культурных предпосылок (?!)), прекрасно вписывался в социо-культурный контекст развития античной математики и, разумеется подпитывался этим контекстом. Это очень хорошо известно, и наиболее ярко, хотя и далеко не всегда корректно об этом писал О.Шпенглер. Однако изменение социо-культурного контекста отнюдь не вело автоматически к преодолению этого круга в развитии математики (как это было с "вероятностным" кругом). "Я протестую...., - писал Гаусс Шумахеру, - против пользования бесконечною величиною как завершенною, что в математике никогда не позволено. Бесконечность есть лишь некий fa on de parler [способ выражаться], причем в действительности имеют в виду границы, к которым определенные отношения подходят как угодно близко, в то время как другим запрещается расти без ограничения". О глубокой укорененности в математике инфинитезимального круга, (особенно той его части, которая относится к актуально бесконечно малым) существовавшего в течение достаточно долгого периода времени практически независимо от изменений, происходивших в социо-культурном и метафизическом контексте развития математики очень красноречиво свидетельствуют колебания Галилея, которыми он делится как в своих опубликованных работах, так и в письмах к своему знаменитому ученику Кавальери. Как считает П.П.Гайденко и с ней, по-видимому следует согласиться, Галилей фактически пользуется представлением об актуально бесконечно малых в своей механике. Так, говоря о причине сопротивляемости некоторых материалов разрыву, Галилей упоминает о мельчайших пустотах, замечая, что "хотя эти пустоты имеют ничтожную величину и, следовательно, сопротивление каждой из них легко превозмогаемо, но неисчерпаемость их количества неисчислимо увеличивает их сопротивляемость". Как не без оснований считает П.П.Гайденко, "неисчислимость количества ничтожно малых пустот - это в сущности бесконечное множество бесконечно малых, можно сказать пустот, а можно сказать, сил сопротивления. Потом окажется, что этот метод суммирования бесконечно малых - неважно чего: моментов времени, частей пространства, моментов движения и т.д. - является универсальным и необычайно плодотворным инструментом мышления". Говоря о новых возможностях, открывающихся перед мышлением, принимающем понятие актуально бесконечно малого (он не просто говорит о возможностях применения этого понятия, но реализует эти возможности вводя, например, понятие о мгновенной скорости), Галилей осознает парадоксальность природы неделимых. Это приводит его к колебаниям относительно вопроса о возможности допущения актуально бесконечно малых (неделимых) в математику. И хотя в "Беседах о математических доказательствах" Галилей не отрицает этой возможности, позднее, когда Кавальери создает свою геометрию неделимых, он высказывается против представлений своего ученика. "Хотя письмо Галилея к Кавальери и не сохранилось, но по некоторым высказываниям самого Галилея и по ответу Кавальери на письмо Галилея можно судить о том, что именно понятие суммы бесконечно малых Галилей считал теоретически несостоятельным". И действительно, признавая, что в целом философия науки Галилея бесконечно далека от представлений Аристотеля, Галилей, подобно Стагириту, настаивает на необходимости для математиков оставаться в рамках инфинитезимального круга. "Бесконечность, - писал Галилей в одной из своих работ, - должна быть вовсе исключена из математических рассуждений, так как при переходе к бесконечности количественное изменение переходит в качественное, подобно тому, как если мы будем самой тонкой пилой... размельчать тело, то как бы мелки ни были опилки... каждая частица имеет известную величину, но при бесконечном размельчении получится уже не порошок, а жидкость, нечто качественно новое, причем отдельные частицы вовсе исчезнут". Одним из доводов Галилея против признания актуально бесконечно малых в математике было его убеждение в том, что различные бесконечные множества не могут находиться между собой в каком- либо из отношений (равенства, больше, меньше), ибо это приводит к неустранимым парадоксам. Но для Кавальери, стоящего перед проблемами нахождения площадей и объемов, эта парадоксальность неделимых постулируется и закрепляется в качестве основополагающего положения. "Я решился признать тот факт, - отвечал на письмо Галилея Кавальери, - что одно бесконечное может быть больше другого, за прочнейшее основание геометрии". Таким образом, пользуясь парадоксальным представлением об актуально бесконечно малом в механике, Галилей не соглашался с подобным прагматическим компромиссом в математической концепции Кавальери. Даже Кантор (в конце XIXв. (!)) подчеркивал, что к идее введения актуальной бесконечности в математику он пришел почти против своей воли, вступая в конфликт с ценными для него традициями. Изучая свойства тригонометрических рядов, он обнаружил, что понятия предельной точки и иррациональных чисел требуют введения и использования совершенно новых и непривычных представлений - так он пришел к общему понятию и классификации бесконечных множеств (вновь "прагматические" соображения являются существенным фактором преодоления ограничений!). Именно укорененностью "инфинитезимального" круга в самой математике (относительно независимо от социо-культурного контекста) можно объяснить не только длительный период игнорирования идей проективной геометрии (от пионерских работ Дезарга и Паскаля в XYII в. до появившихся лишь в XIX веке работ Понселе), но и насколько чрезвычайно яростную, настолько и ничем логически не обоснованную атаку самого Кантора на ученых, пытавшихся ввести в математику актуально бесконечно малые величины. В письме Виванти от 13 декабря 1893 г. он называет их "инфинитезимальными бациллами холеры в математике", бумажными величинами, не обладающими "никаким другим существованием, кроме как на бумаге, исписанной их открывателями и приверженцами", добавляя, что место этих величин - в корзине для бумаг. Более того, основываясь на теории порядковых чисел, Кантор пытался доказать, что актуально бесконечно малые не могут существовать в принципе. Об абсолютной нелогичности этой деятельности Кантора свидетельствуют следующие слова Цермело: "Несуществование "актуально бесконечно малых величин" недоказуемо в той же мере, как и несуществование канторовских трансфинитов, и в обоих случаях ошибочное умозаключение одно и то же; оно состоит в том, что новым величинам приписываются некоторые, не могущие быть присущими им, свойства обычных "конечных величин". Любопытно, что сам Кантор задолго до Цермело, используя практически те же аргументы убедительно показывал тщетность попыток доказательства невозможности существования актуально бесконечных чисел, не замечая, что эти же доводы показывают тщетность его собственных усилий относительно доказательства абсурдности актуально бесконечно малых. "Все так называемые доказательства абсурдности актуально бесконечных чисел ошибочны,- писал Кантор, - как может быть показано в каждом отдельном случае и вытекает так же из общих соображений. Причина заключается главным образом в том, что в этих доказательствах стоящим под вопросом числам заранее приписываются, а точнее- навязываются все свойства конечных чисел, в то время как, наоборот, бесконечные числа, если они вообще мыслимы в какой-либо форме, вследствие их противоположности конечным числам должны образовать совершенно новый род чисел, строение которого целиком зависит от природы вещей и является предметом исследования, но не нашего произвола или нашей предубежденности". К чести Кантора следует отметить, что позднее (о чем свидетельствует сравнительно недавно обнаруженное письмо к Лассвицу) Кантор "отказался от категоричности своего прежнего мнения и допустил возможность того, что в дальнейшем исследователям удастся дать строгое определение бесконечно малых величин". Однако, вряд-ли обосновано предположение, что это мнение Кантора, будь оно высказано в одной из его печатных работ, нашло бы поддержку, достаточную для признания концепций, появившихся в конце XIX века, о которых в первой четверти ХХ века известный историк математики Г.Вилейтнер счел необходимым заметить следующее: "И действительно, Веронезе (G.Veronese) в 1894 г. ... построил вполне последовательную систему бесконечно малых величин различных порядков. Еще раньше этого (Гальфен, Halphen, 1877) , бесконечно малые различных порядков элементы кривой с успехом применялись в теории особых точек алгебраических кривых. Однако дух времени не благоприятствовал, да и сейчас не благоприятствует такого рода исследованиям (выделено мною - А.Г.)". Пытаясь объяснить факт непризнания упомянутых концепций, Вилейтнер отмечает : "Причина лежит в том, что математика, начиная с Вейерштрасса (1860 г.) стала на путь все усиливавшейся "арифметизации". Иными словами, она отказывается от геометрической наглядности и во имя полной строгости заковывает себя в логически безупречную арифметическую форму". Несомненно, факт арифметизации анализа, а также стремление ученых оставаться в рамках строгости, заданной эталонными работами Вейерштрасса трудно переоценить. Однако нельзя не отметить, что введение в математику актуально бесконечно малых сдерживал тот самый круг №3 ( "инфинитезимальный круг"), который был настолько глубоко укоренен в самой математике, что даже изменение социо-культурного и метафизического контекстов не означало его автоматического преодоления (как это было с "вероятностным кругом", имевшим внешние по отношению к математике характер и происхождение). Как уже отмечалось, его частичное преодоление в работах Кантора было обусловлено прежде всего прагматическими соображениями (настоятельной необходимостью введения общего понятия и классификации бесконечных множеств в связи с его исследованиями тригонометрических рядов). Заметим здесь же, что у Кантора были схоластические предшественники, рассуждавшие о равенстве или неравенстве бесконечных последовательностей, причем равенство фактически определялось через взаимно-однозначное соответствие. При этом все они придерживались представления о числе как совокупности единиц. Именно это представление подпитывало формирование инфинитезимального круга в античности, и, средневековые ученые, естественно, разделяли его. Но определяющим для них было убеждение в самопротиворечивости актуальной бесконечности. Поэтому опыт установления взаимнооднозначных соответствий, выявление способности бесконечных множеств стоять во взаимнооднозначном соответствии со своим подмножеством использовалось средневековыми мыслителями в качестве еще одного подтверждения этого фундаментального убеждения. В частности, Дунс Скот отмечал, что если рассматривать отрезок как актуально бесконечную совокупность его составляющих точек, то придется согласиться с равенством таких, например, отрезков, как сторона и диагональ квадрата, что, по его мнению, абсурдно. Подобные примеры приводит в своем трактате о континууме и Брадвардин, отмечая, что представление о континууме, составленном из неделимых (т.е. из точек) приводит к неразрешимым парадоксам. В отличие от своих схоластических предшественников, перед Кантором стояли конкретные математические проблемы, необходимость решения которых толкала его к выходу за пределы привычных представлений. Поэтому он использует известные схоластам конструкции не для демонстрации самопротиворечивости актуально бесконечного, а для констатации необходимых ему свойств актуально бесконечных множеств. Последующие метафизические и методологические обоснования законности операций с актуально бесконечными объектами выглядят у Кантора скорее лишь как ad hoc аргументы, что косвенно подтверждается упомянутым фактом резкого неприятия создателем наивной теории множеств актуально бесконечно малых величин. И лишь с появлением нестандартного анализа А. Робинсона (60-е годы ХХ века) начался процесс окончательного преодоления инфинитезимального круга, связанный с достижением полной уверенности в том, что средствами нестандартного анализа можно получить все теоремы, справедливые в рамках классического анализа, нисколько не нарушая при этом общепринятых норм строгости математических доказательств.

Как известно, А.Робинсон, используя достижения современной математической логики и в значительной мере созданной им самим теории моделей построил свой нестандартный анализ на основе введения системы гипердействительных чисел, включающие в себя "стандартные" действительные числа и актуально бесконечно малые, которые определяются у него в духе Лейбница. А именно: положительное бесконечно малое есть число, которое меньше любого действительного числа, но больше нуля, а отрицательное бесконечно малое - это число, большее любого отрицательного действительного числа, но меньшее нуля. В то время как математики XVII-XIX вв. считали, что поскольку актуально бесконечно малые не удовлетворяют аксиоме Архимеда и, следовательно, не могут быть приняты как полноправные математические объекты, Робинсон сознательно поставил себя вне рамок инфинитезимального круга, обретя, пользуясь метафорой Гротендика первоначальную невинность, наделившую его реформаторской властью. При этом Робинсон исходил из того, что хотя, в отличие от эпсилон-дельта формализма, интуитивные представления Лейбница, братьев Бернулли и Эйлера не получили в свое время строгого обоснования, полученные ими на основе этих представлений результаты выдержали испытание временем. И не случайно, что сам Робинсон рассматривал свою деятельность не только как продолжающую традиции инфинитезималистов XYII-XIX вв., но даже как оправдание и объяснение их представлений и методов. Важно и то, что непосредственно в процессе разработки нестандартного анализа Робинсон не преследовал каких либо прагматических целей, т.е. не имел в виду необходимость решения тех или иных конкретных математических проблем. Более того, создается впечатление, что работая над созданием теории моделей, Робинсон уже имел программу преодоления инфинитезимального круга, возникшую во многом в процессе тщательного изучения истории классического анализа (первые самостоятельные научные результаты были получены Робинсоном в области гидро и аэродинамики). Несомненно, что преодоление данного круга облегчалось для Робинсона тем, что его укорененность в математике не подпитывалась социо-культурным или метафизическим контекстами развития математики. Более того, формалистская философия математики, на позиции которой Робинсон перешел (будучи ранее платоником) в процессе разработки нестандартного анализа стимулирует подобные исследования. Тем не менее, наличие жесткой критики нестандартного анализа как "формального ухищрения" и "унижения смысла" намекает на существование других кругов, невидимых, но властных, которые ограничивают горизонт современной математики, подобно тому, как это происходило практически на всех предшествующих этапах ее развития.