В этой работе делается попытка связать дошедшую до нас арифметическую технику (логистику) двух древних цивилизаций с общими типологическими свойствами этих великих культур. Последнее относятся к тому, что я хотел бы назвать "экзитсенциальным типом" культуры - имеется в виду совокупность самых общих глубинных представлений о мире, о силах в этом мире действующих и о месте человека среди этих сил. Другое предлагаемое наименование - "фундаментальная картина мира".

В Древнем Египте она определяется противоположностью жизни и вечности. Наследие мегалита определяет эту вечность как магию камня, которая может дать человеку посмертное вечное существование. Стилем жизни является здесь некоторая монументализация, обретение формы, уподобляющей вечному при сохранении живого природного содержания. Эта форма и в живом индивидууме даeт гарантию его цельности, защищает его от разлагающего вторжения враждебных сил. Отсюда особенности египетского мышления - существа не оторваны от магической первоосновы Вселенной, а потому по сути неприкосновенны, не подлежат свободному манипулированию.

В противоположность к этому в Месопотамии первичная магия стихий преодолена силою богов, наделїнных волей и произволом и в этом смысле антропоморфных. Человек оказывается здесь рабом и служителем богов; он должен смириться со своей смертностью и с загробным миром у него не связано ничего положитльного. Однако, взамен связи с магическими стихиями человек получает свободную волю вместе с еї ядром - произволом, а с вещей спадает магическая защита. Особую роль в новом взгляде на вещи играет "мантический", гадательный подход к ним, когда какие-то естественный или необычные явления служат для раскрытия "записанной" в них воли богов, и жрец-гадатель должен уметь прочесть в них эту волю. Процесы и явления должны истолковываться при этом не сами по себе, а как знаковые схемы sui generis- возникает новое видение вещей как некий "мантический схематизм".

Иллюстрацией к этой кардинальной противоположности может служить письменность, исходящая из очень сходной пиктографической основы, но развивающаяся в различном направлении: в Египте в ярко изобразительную иероглифику, в Месопотамии - в клинопись, т.е. в систему различных знаковых фонетических и идеографических элементов. Я позволю себе здесь отвлечься и от некоторого развития "знаковости" в поздней египетской системе и от чисто исторических объяснений эволюции письменности в Месопотамии. На мой вгляд такие объяснения (техника письма, рецепция семитами шумерской пиктографии) никогда не являются исчерпывающими. Сходные явления в других культурах, например, рецепция иероглифов народами Дальнего Востока, могут и не приводить к сходным результатам. То, что я называю "экзистенциальным типом" во всяком случае является одним из факторов процесса, действуя как постоянное силовое поле, что, впрочем, не означает его неизменности.

Имея всe это в виду, я хочу обратить внимание на некоторые особенности арифметической техники двух культур.

Египетская "теория дробей" была изучена и описана О. Нейгебауэром (Лекции по истории античных математических наук. т.I. с. 155-173). Она состоит в искустве разлагать правильные дроби на составляющие вида 1/n (n>= 2), к которым присоединена дробь 2/3 (Нейгебауэр называет их "основными" дробями). При этом в разложении конкретной дроби на основные дроби каждая из последних может фигурировать только один раз. Можно поэтому сказать, что египтянин ощущает каждую из основных дробей индивидуально и такая индивидуальность не может фигурировать дважды в выражениии. Правильная дробь разлагается таким образом на сумму индивидуальных, не тождественных друг другу единиц, что вполне соответствует охарактеризованной выше фундаментальной картине мира. "Основные" дроби понимаются как индивидуальные составляющие, подобно каменным блокам, а другие правильные дроби - это некоторая неповторимая композиция таких составляющих.

Что касается представления целых чисел, то здесь возможно только единственная система, позволяющая разбивать каждое число на сумму неповторяющихся индивидуальных компонент, а именно, двоичная. В Египте мы видим всe же десятичную систему. Однако, более пристальный анализ позволяет нам открыть следы двоичности. Речь идeт о способе египетского умножения. Множитель фактически разбивается на степени двойки, и параллельно этому разбиению выстраивается последовательность множимого, умноженного на соответствующие степени, накопление чего и даeт результат. Это показывает, что первоначальное понимание чисел как "обрабатываемых" сущностей имеет в виду собрание индивидуальностей.

Если мы обратимся теперь к месопотамским "логистическим" средствам, то уместно вспомнить, что основной "оперативной", т.е. связанной с вычислениями системой счисления в Месопотамии, была шестидесятеричная. Однако, каждое выражение в этой системе не мыслилось как выражение индивидуального числа, а интерпретировалось ситуационно - в зависимости от контекста. То есть выражение, для нас наиболее естественно понимаемое как обозначение единицы или, скажем, одиннадцати, вычислитель мог понимать и как обозначение 60 (660) и как обозначение 3600 (39600) и даже как обозначение одной шестидесятой (одинадцати шестидесятых).

Это даeт возможность однородных мультипликативных операций. Таим образом конкретное число изображается так, что в этом изображении проявляется некая общая схема, подобно проявлению абстрактного сообщения в мантическом предмете. Индивидуальность числа подавляется, и открываются новые возможности оперирования им.

Отсутствие шестидесятиричных нулей в завершащей позиции необходимо для таких вычислений, потому что их условием является отвлечение от конкретной индивидуальности числа и выявление в нeм его "абстрактной" сущности, позволяющей равномерные вычисления, которые были обеспечены таблицами. Наоборот, появление таких нулей в промежуточных позициях было необходимо, и постепенно вавилонская математика пришла к этому.

Конечно, этими положениями обрисован только "идельные" типы египетской и месопотамской логистики. Обе системы в своих истоках были связаны конкретными дробями, а система счисления в обоих случаях включала и десятичные компоненты. В Египте обращает на себя внимание вспомогательная техника так называемых "красных" чисел. Эти числа - не обязательно правильные дроби, представляемые как индивидуальные суммы "основных" дробей и целых, сопровождали основное вычисление. Но их единицей мыслилась не натуральная единица, а некоторая "основная" дробь. Такая "подвижность" единицы - уже шаг в стороны "схематизации". Но мышление не сделало здесь дальнейших шагов - "единицами" не стали произвольные числа, и даже просто целые. Кроме того, красные числа всегда играют только вспомогательную роль.

Нейгебауэр связывает происхождение месопотамской шестядесятиричной системы с некоторым реконструриемым им случайным историческим фактом - появлением двух разных групп единиц измерений, сходных по внутренней структуре и различающихся друг от друга множителем примерно равным шестидесяти. Но, если исторические факты и угаданы здесь верно, в чeм нельзя быть безусловно уверенным, то всe равно остаeтся вопросом, почему однородность представления чисел в двух позициях стала стартовой площадкой для осознания такой однородности в неопределeнном числе позиций. В египетских "красных" числах произошло как раз обратное - однородное оперирование с единицей (с еe кратными, еe долями) и с некоторой "основной" дробью отнюдь не приводит к пододбному же оперированию с любым числом вообще. Новыми индивидуальностями, да и то в ограниченном применении, признаются только "основные" дроби. Что-то мешает египетскому математику, и, как мне представляется, дело именно в магическом ощущении индивидуальности. В 1/15 такую индивидуальность ещe можно на время признать, но, скажем, в 4-ех и 2/3 и 1/5 (=4 11/15) это уже невозможно.

Месопотамское мышление явно превосходит египетское в способности увидеть в вещах общую схему, отрывающуюся от самой вещи. В этой связи я упоминал уже о мантических процедурах. Вот описание, принадлежащее А. Лео Оппенхейму: "[Гадатель] исследовал в традиционной последовательности дыхательные пути, лeгкие, печень, жeлчный пузырь, кольца кишок животного, искал отклонения от нормального состояния. Всякого рода атрофия, гипертрофия, смещение, особые признаки и другие аномалии органов считались основой для предсказания. Сложная и детально разработанная техническая терминология давала возможность составить исчерпывающее описание всех наблюдавшихся явлений, со строго научным перечислением как нормальных, так и патологтческих особеннстей" (А. Лео Оппенхейм, "Древняя Месопотамия" с.215). Собствено для предсказаний использовались спецальные сборники, содержащие признаки, предсказания им соответствующие, а часто и рецептуру - средства предотвращения. Эти своеобразные "таблицы" составлялись на основе тщательно изученного опыта странных природных явлений и наступавших вслед за тем значимых событий.

Параллелью к мантике является месопотамская медицина, тоже использующая таблицы накопленного опыта. "В ряде таблиц установленый обрзец предсказания (протасис - аподосис) используется для изложения медицинских сведений", "Лечение, которое прописывается в исключительно редких случаях, носит магический, а не медицинский характер" (Оппенхейм, с. 229).

Развившаяся со временем алгебра также широко пользовалась таблицами и имела рецепторный характер, как мантика или медицина. Уравнение старались привести к стнадартному виду, и существовали таблицы, которые помогали отыскивать решение, например, таблицы для функций n³+n² и 2ⁿ Первые служили для решения кубических уравнений; вторые для решения задач, связанных с ростом денег.

Цель этих наблюдений - в выявлении внутреннего родства различных феноменов культуры, а не в притязаниях открыть одностороннюю причинную линию от глубинного экзистенциально-религиозного мироощущения к характеру письменности, искусства или математики. Такое мирощущение в во времена первых цивилизаций, да и в гораздо более позднее время несомненно было ядром всей культуры, но это не означает, что оно было отделено непроницаемой скорлупой от всего потока жизни и от деятельности в других отраслях. Развитие скорее всего было совокупным, но роль в нeм фактора "экзистенциального" была очень значительной, так что прослеживание и истолкование соотвествтий и перекличек между явлениями в различных ветвях культуры, выявление их глубинного смысла представляется сейчас обещающей деятельностью.