В этой работе вовсе не будет подвергнута сомнению осмысленность исследования стилей математического мышления. Было бы нелепо отрицать, что некоторые математики в большей степени склонны к "геометрическому" стилю, а другие - к "алгебраическому" стилю рассуждений (доклад С.С.Демидова). Точно так же несомненно, что имеет смысл различение интуитивного стиля и формального стиля в математике (статья Л.Б.Султановой). Возможно, что эти две пары оппозиций коррелируют между собой: интуитивный стиль близок к геометрическому, а формальный к алгебраическому, и исследование корреляций также представляет значительный интерес. Надеюсь, в нашем сборнике будет немало фактического материала, касающегося эмпирически фиксируемых стилей математического мышления, как и немало серьезных размышлений над такими фактами.

Однако можно поставить и другую задачу. О чем мы говорим, когда говорим о стилях математического мышления? Какими должны быть математическое мышление и математика как таковая, чтобы можно было осмысленно говорить о стилях?

Приведу сначала один пример из работы известного швейцарского психолога Ж.Пиаже "Генезис числа у ребенка". Надо отметить, что всемирная слава психолога Пиаже свела к минимуму извесность Пиаже-эпистемолога, хотя сам единый во многих лицах швейцарец (также и логик, и биолог) считал себя по призванию эпистемологом, то есть все свои работы координировал в рамках теоретико-познавательных проблем.

Ж.Пиаже проводил следующие опыты. Его испытуемые, дети 5 - 7 лет, наблюдали различные операции с жидкостью, налитой в стаканы: жидкость разливали в два или больше стаканов, переливали из широкого стакана в узкий (тогда повышался уровень жидкости) и т.п. Пиаже описал отчетливый прогресс в осознании сохранения количества жидкости. Дети до 5 лет, перелив жидкость в более широкий стакан, утверждали, что ее стало больше или меньше, в зависимости от того, что обращало на себя их внимание - увеличение ширины или уменьшение высоты столба жидкости. Дети после 7 лет всегда утверждали равенство. Замечательны в этом случае были их аргументы: "брали из одной бутылочки", "только переливали". Пиаже подчеркивает, что и пятилетний ребенок видел, что "только переливали", но это не приводило к утверждению сохранения. Установление причинной связи между событиями "только переливали" и сохранением количества жидкости опирается на некоторую систему знаний, одним из элементов которой уже является закон сохранения. В рамках этой системы, после того как она "схвачена" ребенком в своей целостности, утверждение появляется как тривиальный акт, и ребенок часто выказывает недоумение по поводу самой постановки нелепого с его точки зрения вопроса, в то время, как двумя годами ранее этот же ребенок оценивал переливание жидкостей с обычной для его возраста ошибкой.

В другом эксперименте Пиаже заменял жидкость на мелкие бусинки. Насыпанные в стакан, они занимали некоторый объем, что позволяло действовать с ними, как с жидкостями, но первоначально ребенок вместе с экспериментатором насыпал в стаканы различной формы и объема равные количества бусинок (одновременно опуская по одной в каждый стакан). Один из протоколов мы приведем полностью (сохраняя пунктуацию автора). Ребенок по имени Баб (4 года 6 месяцев):

"Баб кладет на стол бусинку всякий раз, когда то же делает экспериментатор. "Одинаково? - Да". Затем он кладет по бусинке в стакан L, а экспериментатор одновременно - в P. В этом случае Баб непроизвольно говорит при каждой новой бусинке: "Одинаково". Но когда он доходит до десятка с обеих сторон и L наполняется наполовину, он кричит: "У меня много! - А у меня? - Но смотри. У тебя совсем мало. - Почему? - Смотри (показывает уровни)".

Затем Баб кладет по бусинке в E, а экспериментатор кладет одновременно по бусинке в P. "Смотри хорошенько, будет ли одинаково у тебя и у меня. (Баб всякий раз называет число каждой совокупности.) - У меня одна и у тебя одна; у меня две и у тебя две; у меня три и у тебя три... (и т.д. до шести; стакан E заполняется тогда до краев). - Одинаково? - ... (Конфликт между видимостью и установленным соответствием.) - Если бы сделали бусы из твоих бусинок, а другие бусы из моих, то они были бы одинаковы? - Нет, у меня длиннее. - Но если бы взяли все твои бусинки и все мои? - Нет, твои не такие длинные; нужно заполнить такой стакан, чтобы получить такие же длинные бусы. - Считай. (Считает: один... шесть в E и один... шесть в P.) - Ну и что? - У тебя маленькие бусы. - Но почему у тебя много? - Смотри, у тебя ниже, а у меня много, у меня полный"".

Этот пример наглядно иллюстрирует тезис Пиаже о том, что "единичная операция не является операцией.. сущность операций состоит в том, чтобы образовывать системы". Пересчет бусинок, который демонстрирует Баб, на самом деле не является пересчетом, потому что не измеряет пересчитываемое множество, так как числовая мера в его случае не является заведомо стабильной. Таким образом пересчет как таковой возможен только в рамках системы операций, включающей кроме того, как показывает Пиаже, принцип сохранения для дискретных множеств, операции над асимметричными отношениями "больше-меньше" и операции установления взаимно-однозначного соответствия.

Пиаже считает, что системы операций, подобные системе натурального числа, отражают не реальность саму по себе, а структуру возможной деятельности человека в реальном мире. И тем не менее, эта структура не является произвольным изобретением, но возникает у любого субъекта всегда в одном и том же виде (в данном случае в виде понятия натурального числа). Приближение к такому состоянию определяется исследовательской активностью субъекта, которая задает энергетические характеристики движения (например, его скорость). Но та форма, которую примет система операций в развитом состоянии, задана заранее, поэтому ее следует рассматривать как финальную причину развития системы. Такая окончательная форма описывается знаковой структурой, в случае натурального числа арифметической числовой системой.

Если мы будем понимать математику так, то стилям математического мышления уже не остается места. Действительно, пока отдельные мыслительные схемы не пришли во взаимозависимое состояние в рамках системы (Пиаже называет его равновесием), речь может идти только еще о недо-мышлении, а не о стиле мышления.

Когда же система сформировалась, интеллектуальные операции становятся формальным дедуцированием или вычислением с помощью знаковых средств. На этой стадии выделение стилей также весьма проблематично, хотя и по другой причине: вследствие жесткости формальных систем.

Обнаруживается странная ситуация: пока система не возникла, о стилях мышления говорить рано, поскольку мышление только нащупывает форму и может описываться только с позиций понимания этой будущей формы, которая от субъекта мышления до поры до времени скрыта; когда же мышление субъекта о-формилось, его действия превратились в автоматические операции, определенные знаковой формой, поэтому о стилях говорить уже поздно.

Можно возразить, что в примере Пиаже речь идет о ребенке, а мы обсуждаем, конечно, "взрослое" мышление. Однако, если говорить только о возрасте, то взрослые представители культур, стоящих на низших ступенях развития, часто совершают ошибки (ошибки с нашей, а не их точки зрения), аналогичные детским ошибкам в нашей культуре. Например, и те, и другие не чувствительны к противоречию в собственном рассуждении. Похожим образом материал докладов Крушинского о китайском математическом стиле и Зайцева о средневековой европейской геометрии также свидетельствуют о том, что вопрос о маргинальных математических стилях не слишком прост (ведь эти феномены мы относим к математике лишь постольку, поскольку иной математики в данное время и в данном месте не наблюдалось, а если бы таковая нашлась, то они просто выпали бы из нашего поля зрения). Представляется (и здесь можно согласиться с Пиаже), что вопросы развития математического мышления в фило- и онтогенезе следует рассматривать параллельно.

Заметим, что Ж.Пиаже не уходит далеко от наиболее распостраненного понимания математики. Вероятно, большинство математиков-профессионалов в общих чертах с ним согласится. А именно, профессиональные математики работают со знаковыми системами, имеющими какие-то интерпретации в реальном мире. Идеальное содержание этих интерпретаций представляет собой нечто в высшей степени устойчивое, более устойчивое, чем сам изменчивый мир эмпирических явлений. Преобладающими средствами работы математиков-профессионалов являются дедукция и вычисление в рамках этих знаковых систем.

Периоды изобретений новых математических систем следует рассматривать отдельно. Высказывания математиков в эти периоды производит временами странное впечатление, в чем-то похожее на впечатление, производимое малолетними участниками экспериментов Пиаже. Они, например, могут утверждать, что разумный человек не в состоянии поверить в действие силы на расстоянии через пустое пространство (это говорил не кто-нибудь, а сам И.Ньютон), могут рассуждать о непонятных флюксиях и т.п.

Рассмотрим один такой пример-недоразумение из истории математики, который, однако, покажет, что модель Ж.Пиаже, возможно, слишком проста. Как известно, в середине XVI века Виет стал обозначать буквами коэффициенты алгебраических уравнений (и ввел сам термин "коэффициент"), сделав крупный шаг к современной алгебре. Однако по известной причине его коэффициенты имели размерность. Так в квадратном уравнении коэффициент при первой степени переменной имел линейную размерность, а свободный член - размерность площади. Причина этого - инерция греческой традиции (геометрическая алгебра), в которой однородность размерностей в уравнении была необходимым условием осмысленности выражения. Эту традицию творцы европейской алгебры должны были преодолеть и преодолели в последовавшие несколько десятков лет, в основном, усилиями Ферма и Декарта. Были ли затруднения Виета связаны с его причастностью греческой традиции (тогда, возможно, мы имеем право говорить об их "стилистической" природе), или они были трудностями рождения мысли, то есть, скорее, стадиями развития мышления, чем стилями. Стадиями, родственными стадиям развития математического мышления в онтогенезе, описанным Пиаже?

В данном случае получить ответ на вопрос, может быть, не так интересно, как проанализировать саму возможность вопроса. Ведь если вообще возможен первый ответ, - что затруднения вытекали из приверженности греческой традиции, то это означает, что в точке, в которой находился Виет, можно было повернуть назад к прежней греческой математике и отвергнуть открывающуюся возможность.

Мы можем представить себе, что так поступил бы современник Евдокса, которому предложили тексты Виета, а затем задали бы вопрос: не следует ли отказаться от однородности степеней в уравнении? Вполне возможно, что ученый ответил бы отрицательно, поскольку при сохранении однородности гарантируется строгость рассуждений более высокая, чем строгость рассуждений в современной теории действительного числа (даже с точки зрения математики XX века), а альтернатива, которая и была реализована в Новое время, греку кажется сомнительной заранее.

Но подобным образом, вообще говоря, мог поступить и Виет и его последователи. Историческая реконструкция проблемной ситуации Виета и Декарта может объяснить, почему был сделан данный выбор, но сама возможность выбора двух различных математик не является предметом исторического исследования, она может быть понята с помощью истории, которая только предоставит для анализа развитые системы идей, возможно, неизвестные в момент выбора. Но проблема самой по себе возможности различных путей развития математики является философской, а не исторической.

Я рискну привести теперь один пример из собственной биографии, который показывает, что проблемная ситуация XVI века на самом деле не умерла вместе с победой нововременной алгебры. Как-то на уроке математики в одном из старших классов я сделал маленькое личное открытие (точнее "закрытие"): я понял внезапно и без всякой связи с содержанием разъясняемого на уроке материала, что хотя точек на числовой прямой самих по себе, без участия масштабирующего единичного отрезка достаточно для определения сложения чисел (то есть "сумма" двух точек зависит только от положения "нуля" на числовой прямой, но не зависит от масштаба), то произведение "точек" на числовой прямой не может быть определено прямо геометрически. Следствием этого был тот факт, что каждый раз, имея дело с геометрическим построением средних пропорциональных и другими похожими операциями, я испытывал некоторые сомнения в корректности выражений типа "квадрат длины отрезка", не видя при этом рядом единичного отрезка. Со временем мои сомнения разрешились и, разумеется, фактически средствами геометрической алгебры, но числовая прямая перестала быть для меня ясным геометрическим представлением поля действительных чисел. Таким образом, нововременное изобретение, числовая прямая сама по себе навела меня на мысль, свойственную, скорее, греческой математике. Поскольку же в те времена я не имел никакого представления об истории математической науки, то можно сделать вывод, что разнонаправленные мыслительные ходы (осуществленные когда-либо в истории, но также и никогда не осуществленные и ждущие своего часа) потенциально доступны математическму субъекту любого исторического периода.

К приведенному выше примеру вполне подходят слова, сказанные Д.Мордухай-Болтовским (хорошо известным благодаря переводу евклидовых "Начал" и комментариям к ним): "Бесспорно, - писал он, - что кое-что в алгебре давалось трудно алгебраистам XVI века по тем же причинам, почему и учеником оно трудно усваивается".

Сравнивая теперь затруднения Виета и автора данной статьи, можно заметить, что

1) положение "точки ветвления Виета" можно назвать межпарадигмальным; в нем возможно движение от геометрической алгебры к аналитической геометрии и алгебре, но также и в противоположном направлении;

2) чтобы вполне понять альтернативные ходы мысли, надо узнать некоторое будущее мыслительное состояние, преемственное по отношению к ним;

3) однако эти ходы мысли могут быть воспроизведены и поняты в каком-то не вполне ясном виде и в отсутствие такого финального прояснения.

Представляется, что рассматривая именно такие периоды развития математики, когда происходит изобретение новых математических структур, мы можем говорить о стилях математического мышления. Остается выяснить, как часто такие периоды наблюдаются. Предполагаемый вывод таков: других периодов просто не бывает, вся остальная деятельность математиков есть, если можно так выразиться, вершки, основные же плоды деятельности математиков суть подземные и труднообнаруживаемые корнеплоды, которые вызревают в темноте недопонимания.

В самом деле, разве Виет в упомянутый период занимался не вычислениями и дедукциями? Разве его результаты в корне отличаются от продукции, которую порождают современные нам профессионалы? Разве сумма корней уравнения не осталась таковой, а решение уравнения в радикалах (как бы трудно ни было записать и уравнение, и решение в неуклюжей знаковой форме того времени) не осталось решением до наших дней? Разумеется, можно найти массу различий в стилях профессиональной жизни математиков разных исторических периодов, но дело не в этом. Существенно, что профессионалы лишь в малой степени осознают, чем в действительности они занимаются. Виет не смог бы оценить свои достижения как шаги на пути к созданию теории действительного числа, он просто не знал такого понятия. Однако тот стиль употребления алгебраических знаков, к поддержанию и развитию которого Виет приложил свою руку, неминуемо вел именно к такому понятию. Виет работал со своими знаками, вычислял и дедуцировал с их помощью новые результаты, но реальным результатом его деятельности было продвижение в знаковой системе, которое и было подхвачено последователями.

Было бы в высшей степени странно, если бы в XVI веке математика жила по одним законам, а в XX -- по совершенно другим. Совершенно естественно, что вычисляя и дедуцируя, современные математики делают и нечто совершенно пока непонятное, поскольку те системы, в свете которых мы могли бы понять их главную, и что весьма существенно, коллективную, а не индивидуальную работу, так же неизвестны нам и им, как действительное число -- Виету.

Надо признать, что получается довольно странное и даже, может быть, противоречивое описание. В самом деле, с одной стороны, Виета можно понять лишь "с высоты" современного действительного числа и связанной с ним алгебраической символики. С другой стороны, само это понятие и сама эта символика вовлечена в деятельность, чей предмет станет вполне понятен когда-то потом, когда прояснится некая структура, которая вызревает в коллективной деятельности математиков. Но тогда и понятие действительного числа может измениться. В предельном случае оно может быть даже отвергнуто, например, вследствие каких-то новых проблем с теорией множеств. Но тогда должно измениться и наше понимание работ Виета.

В таком случае, деятельность философов и историков математики выглядит, может быть, еще более странно, чем деятельность самих математиков. В самом деле, не придется ли переписывать историю математики всякий раз, когда в современной историку и философу математике происходят серьезные подвижки - примерно так, как переписывало историю министерство Правды в известном романе Оруэлла?

Отчасти дело именно так и обстоит. Теорема Виета о соотношении корней и коэффициентов уравнения представляет собой идеальный предмет, доступный всякому, кто прошел некоторый путь математического образования. Но смысл деятельности Виета, когда эта теорема была им доказана, не является столь же легко фиксируемой идеальностью, как само утверждение его теоремы. Такая идеальность не может быть схвачена ни в какой конечный момент времени, поэтому попытки описать "изначальнейший смысл, в каком геометрия некогда возникла и с тех пор существует в своей тысячелетней традиции" не могут быть успешны ни для геометрии, ни для иных дисциплин. Заметим, что Э.Гуссерль, задумавший грандиозный проект описания развития идей не в историческом, а в трансцендентальном смысле, то есть задумав историю идей, не зависящую от превратностей исторических фактов, оказался в плену того же самого противоречия, что и мы с вами. На протяжении буквально одной страницы он пишет о вневременности теоремы Пифагора и о том, что "Тематическое, то, о чем сказано (его смысл), где бы оно ни было высказано, отличается от высказывания, которое само во время высказывания никогда не бывает и не может быть темой".

Таким образом, то в высказывании, что удается как-то зафиксировать, не является его смыслом (следовательно, и утверждение теоремы Пифагора не является смыслом этой теоремы). В таком случае у нас нет никаких оснований исходя из вневременности содержания теорем геометрии заключать к вневременности ее (изначальнейшего) смысла.

Однако именно смысл текущей деятельности, как мне кажется, и затвердевает и осаждается в будущей математике в виде утверждений, и что еще важнее, формулировок, приводящих к концептуальным сдвигам. Отвечая на вопрос, поставленный в заголовок статьи, мы можем сказать теперь:

Стили математического мышления возможны в математике концептуальных формулировок и целеполагания (сознательного, но в особенности, неосознаваемого), а не в математике утверждений. Различные цели и смыслы, пока они не достигнуты и не реализованы, будут выглядеть для нас как некоторые неконцептуализируемые в рамках математики особенности деятельности, которые мы с полным основанием можем назвать стилями.

При этом не будем забывать, что математика исторически может быть выведена лишь из не-математики, причем безразлично, рассматривать ли историю идей как фактическую или как трансцендентальную (в духе Э.Гуссерля), описывающую сущностные сцепления и последовательности мысли. В последнем случае нам придется каким-то позитивным образом описать и понять затруднения пятилетних испытуемых Ж.Пиаже и индейцев-информантов Л.Леви-Брюля, понять их как бы изнутри, как мы можем понимать идеи греческих математиков. По отношению к детям и первобытным дикарям это выглядит тем в большей степени проблематично, чем в более ранний возраст или исторический период нам надлежит "перенестись".

Соображения единообразного описания заставляют нас сделать еще одно замечание. Вполне возможно, что с позиции какой-то исторически гораздо более зрелой математики наши стили математического мышления (например, геометрический и алгебраический) все же окажутся близки по сути к предпочтениям ширины или высоты стакана при оценке объема сосуда, как в том случае, который описывал Ж.Пиаже. Принципиальную возможность такого поворота истории нельзя отвергнуть.