1.

Традиционное представление о математике как науке связано с понятием математического утверждения, доказательства. Рассматривая весь объем накопленного математического знания мы должны говорить о утверждениях и способах рассуждения, эти утверждения доказывающих. Но что такое доказанное утверждение? Усмотрение доказательства - это процесс, деятельность; статичная же модель имеет дело лишь с верой в то, что то или иное утверждение доказано. Это необязательно будет вера в авторитет, возможно это будет воспоминание о том, что мы сами когда-то доказали это утверждение. Однако может ли само доказательство присутствовать в нас так же, как присутствуют утверждения? Каков его бытийный статус?

Обращаясь к математике как к науке, мы сталкиваемся с расхожим представлением о том, что математика - самая точная наука. Но в каком смысле математика "точна"? Точны ее утверждения? Но ведь мы принимаем их на веру. Точны доказательства? Но, как пишет Смаллиан, по сути мы не располагаем критерием "точности" доказательства и таким образом не всегда можем отличить истинное доказательство от неверного рассуждения.

2.

Представление о математике как о точной науке связано с относительной неоспоримостью математического результата. Утверждения, однажды вошедшие в математический обиход, не меняют свой облик в дальнейшем. Перминов в своей книге [] оценивает "максимальный срок" принятия сообществом того или иного утверждения в 15 лет. Затем этот результат никогда не будет целенаправленно подвергнут сомнению, возможно, что только случайно, косвенными путями будет доказано обратное. Однако результат - это лишь продукт деятельности, ничего не говорящий нам ни о структуре ни о способе протекания самой деятельности. Более того, результат - не источник деятельности, но лишь тормоз ее, поскольку он закрывает проблему, дав то или иное - но всегда единственное - решение ее. Математический результат особенно страшен тем, что не допускает иного результата, заранее отвергая любые попытки вернуться к уже рассмотренной проблеме.

Гротендик пишет о последствиях примата результата над самой деятельностью:

1) Печатаются только статьи, которые содержат новые факты (теоремы).

2) Математическое сообщество всегда находится в русле одного взгляда на мир. Все статьи, не укладывающиеся в этот взгляд, не проходят в печать.

3) В печать проходят статьи, из которых совершенно выхолощен сам дух исследования. Результат всегда преподносится .на блюдечке., вне осмысляющего контекста самой математической деятельности.

4) Современная математика не выносит на обсуждение вопросы (проблемные статьи проходят в печать только под именем одного из 20-30 признанных авторитетов). Это приводит к тому, что сама деятельность, естественно состоящая из вопросов и ответов, и осмысленная определенной целью, рушится как исследовательская деятельность и превращается в решение задач с потолка сформулированных научным руководителем или же по той или иной причине популярных [Гротендик, пар.22-26].

Примат результата приводит также к представлению о математике как исключительно кумулятивной науке. Однако математическая деятельность несводима к накоплению результата. В математике нередки случаи "дублирования" понятий, когда один и тот же математический объект обладает двумя не сводимыми друг к другу описаниями, каждое из которых равноценно ( например, определение схемы по Гротендику и алгебраическое многообразие как окольцованное пространство; или многообразия Фано). Возможно и обратное: оказывается, что два результата из разных областей математики говорят об одном и том же (известный случай mirror symmetry).

Мы попытаемся выделить специфические черты математики именно как деятельности, исследования, разыскания. Этот не означает, что мы отказываемся от рассмотрения феномена интерсубъективного результата, мы отказываемся от редукции математики к результату, воплощенному в формальном выводе.

3.

Заметим, что сам взгляд на науку как на набор знаний подразумевает определенную онтологию этого знания. Так, представление о результате невозможно без понятия корреспондентной истины, которую этот результат воплощает. Такая истина в свою очередь подразумевает некое постоянное положение дел, реальность объектов, а познание представляет в виде субъектно-объектного взаимодействия, сущность которого - отождествление.

Традиция именно так рассматривать знание идет от Платона и Аристотеля, хотя корни такого рассмотрения, как пишет Лосев, уходят в античный способ видения мира как бытия.[Лосев 2] Проблемы, которые возникают при подобном рассмотрении знания, были поставлены еще самим Платоном в диалогах "Теэтет", "Софист", "Парменид". Своеобразное преодоление этих проблем осуществилось в традиции феноменологии, чье основное достижение - "выключение" объективного мира и последующее представление о познании как самопрояснении. Необходимость отказа от привычной онтологии в рамках изучения математики ведет нас к попытке изучения не природы математических объектов, но деятельности по их созданию и работе с ними - в русле немецкой идеалистической школы. Онтологический аспект описания математической действительности мы будем подробно рассматривать в главе о разговоре.

4.

Еще одним существенным моментом, заставляющим нас обратиться к математической деятельности, является расхождение между формальным выводом (и в частности, математической статьей) и реальной практикой работающих математиков (в частности, деятельностью семинаров). Известно, например, что большинство доказательств, которые в ходу у математиков отвергаются конструктивизмом (в частности, все доказательства от противного). Однако сам прием ad adversum, который сам по себе чрезвычайно употребителен и полезен, требует объяснения как реально практикуемый и, стало быть, доказательный, понятный.

Наконец, в рамках математической деятельности мы хотели бы провести анализ понимания, выделив в нем те черты, что роднят его со знанием (фиксируемость, воспроизводимость), и специфически нестабильные черты, которые мы называем "мерцающими".

Математическая деятельность всегда имеет дело с определенным материалом - утверждениями, подлежащими доказательству и проверке. Доказывая их, мы не имеем право выдумывать, нести отсебятину - нам предписано в точности следовать их внутренней логике. Каким образом мы располагаем этой логикой? Мы будем вслед за Гуссерлем [Гуссерль 4] считать, что она дается нам в виде смысловых единств и их связей. Все смысловые единства, воспринятые или созданные субъектом, образуют .горизонт. известных возможностей-альтернатив. Этот горизонт непостоянен - он может расширяться за счет включения нового знания (альтернатив).

Под математической деятельностью мы будем понимать деятельность по изменению горизонта математических альтернатив.

Чтобы подчеркнуть зависимость от исходного материала, мы будем характеризовать ее как деятельность исполнения. В этом отношении исполнение математической задачи близко к исполнению музыкального произведения - в обоих случаях материал (условие теоремы, нотный текст) дан нам в скрытом виде - неясно, как к нему подступиться, с чего начать. Даже если у нас есть текст доказательства, прочтение текста не гарантирует раскрытия, понимания материала. И напротив, часто бывает, что задолго до окончания текста мы уже понимаем доказательство и принимаем его. Отсюда видно, что для принятия материала как альтернативы необходим дополнительный акт.

Каков этот акт мы и попытаемся выяснить.

1.

Что представляет собой деятельность исполнения? По необходимости, это следование исходному материалу в соответствии с его внутренней структурой. Почему мы обязаны включить в исполнение представление о внутренней структуре, об определенной сложности материала? Действительно, пусть такой структуры нет. Представим себе, что мы находимся на каком-то этапе исполнения. Заметим, что исполненный материал нами никоим образом не фиксируется, так как фиксация - это уже структурирование, выделение единства. Казалось бы, нам доступно восприятие последнего исполненного акта, однако такое восприятие бессодержательно: мы не способны сказать, что мы исполнили. Ведь любая характеристика действия также означала бы структурирование материала.

В этих условиях исполнение следовало бы мыслить как нечленимый акт, относительно которого невозможно даже сказать, произошел он, или нет. Так, если мы не обладаем (осмысляющим) представлением о мелодии, музыкальное произведение невозможно исполнить, его можно лишь отобразить в последовательность звуков. Неважно, на какой ноте закончится произведение, повторится ли оно несколько раз (о чем невозможно будет судить на уровне исполнения).

Строго говоря, о следовании материалу можно говорить лишь при наличии выбора, то есть, когда существует сама возможность верного/неверного следования. Выбор же в точности означает создание структуры возможностей.

Итак, под исполнением мы будем понимать деятельность по наделению материала (смысловой) структурой.

2.

Обратимся к единичному акту выбора. Он определяет дальнейшее развитие исполнения, и потому должен быть связан с некоторым фиксированным значением - уже исполненным материалом. В противном случае, исполнение распалось бы на две несвязанные друг с другом части. Тем самым исполнение предполагает фундаментальную способность сознания фиксировать значение (тему актуального сознания [Черняк,14]).

Откуда возникают альтернативы выбора? Во-первых, определенный набор альтернатив всегда существует как .горизонт. знания. Некоторые из них структурно связаны с фиксированным значением и могут быть актуализированы (вопрос о том, каким образом актуализируется именно эта альтернатива мы оставляем открытым). Также мы располагаем .пустой. альтернативой, неожиданной возможностью. В этом случае мы замечаем, что ни одна из известных альтернатив нам не подходит, однако альтернатива должна существовать. Например, есть неправильное доказательство того, что все тупоугольные треугольники - равнобедренные. Это доказательство опирается на представление о том, что серединные перпендикуляры обычно пересекаются внутри треугольника. Человек, никогда не сталкивавшийся на практике с тупоугольными треугольниками, скорее всего не сможет вообразить, что серединные перпендикуляры способны пересечься вне треугольника, однако, побуждаемый парадоксальным фактом, возможно, придет к необходимости проверить эту альтернативу.

Отметим, что исполнение предполагает не фиктивный, а реальный выбор альтернатив, то есть, если мы заранее знаем, какая альтернатива верна, никакого выбора не произойдет. Выбор, поэтому, всегда должен задействовать неожиданную альтернативу, создавать непредвиденную возможность (хотя, возможно, дублируя какую-нибудь возможность, существующую на горизонте). Тем самым исполнение является деятельностью по произведению, а не воспроизведению альтернатив. В дальнейшем мы увидим, что это серьезное требование приводит к мерцанию (нестабильности) исполнения.

Альтернативы могут появляться на горизонте не только как результаты выбора, но и как результаты конституирующей интенции (определения). Например, на вопрос .что такое эллиптическая кривая?. можно ответить: .это тор.. Такое определение будет воспроизводимо (вне иных структурных связей), однако само по себе не повлечет за собой произведения структуры, то есть, будет совершенно бессмысленным. Тем не менее, определение может быть осмыслено (.а почему эллиптическая кривая - это кривая?.) за счет интенции, направленной на раскрытие содержания (интереса).

За этапом постановки альтернатив следует собственно выбор - полагание (смысловой) связи одной из альтернатив с фиксированным значением. Эта альтернатива может присоединяться к горизонту уже известных альтернатив в рамках структуры исполнения. Это произойдет только в том случае, когда у нас уже нет причин сомневаться в ясности выявленной структуры. Скажем, если при доказательстве утверждения у нас не возникло больше вопросов, мы прерываем доказательство и с этого момента можем воспроизводить само утверждение как известную альтернативу. Так будет продолжаться, пока это утверждение не актуализируется как по каким-то причинам неясное.

Возникшее сомнение вынуждает нас пытаться раскрыть утверждение в систему альтернатив. Фактически, этап сомнения и этап воспроизведения всегда находятся в противофазе: мы не способны пользоваться структурой, пока она неясна, а значит, не принадлежит горизонту известных, и напротив - каждое воспроизведение структуры утверждает ее как ясную и не требующую уточнения.

Акт присоединения утверждения к горизонту известных альтернатив мы назовем соглашением.

3.

Каждый акт исполнения имеет форму .так, а не иначе.. Например, Теорема Пифагора может осмысляться в контексте .для непрямоугольных треугольников сумма квадратов двух сторон не может равняться квадрату третьей, в отличие от прямоугольных, где две такие стороны заведомо найдутся.. Пара .исходная альтернатива./.альтернативы оппозиции. образует категорию (например, все треугольники), в рамках которой они противопоставляются по определенному признаку (упомянутое равенство).

Отсюда видно, что решающую роль несет не сама альтернатива, а объемлющая категория и определяющий признак. Можно ввести понятие точности: насколько однозначно определяющий признак классифицирует альтернативы. Так, формула sgn(a²+b²-c²)(a²+c²-b²)(b²+c²-a²) более точно, чем Т. Пифагора (на три группы) классифицирует треугольники; в неевклидовой геометрии, напротив, возникает необходимость иной формулы (уточнения).

За счет чего утверждение становится более точным? За счет раскрытия, расширения смысловой структуры - чем большее количество связей создает структура, тем точнее становится формулировка. Математика, по сути, все время движется по пути уточнения уже воспринятых однажды структур. Заметим по ходу, что в естественном языке существует тот же критерий точности - например, при отгадывании загадки .зимой и летом одним цветом. ответ .елка. воспринимается как более точный, чем .фонарный столб. - потому что елка - дерево, а среди деревьев есть те, что сбрасывают листву (меняют зимой цвет). Фактически, ответ .елка. подразумевает раскрытие .елка, а не береза. - в точности так же, как в Т. Пифагора фигурирует .прямоугольный, но не иной треугольник..

Ответ .фонарный столб. в загадке про елку неинтересен, поскольку никоим образом не провоцирует раскрытие смысловой структуры. В математике также возможны .неинтересные. ответы на вопрос. Например, раздутие многообразия в подмногообразии интересно только в коразмерности >1, иначе результат - исходное многообразие не приведет к созданию новой структуры и новой альтернативы.

4.

В пунктах 1-2 мы показали, что деятельность исполнения - это не воспроизведение структуры (альтернатив), а ее производство. Созданная в результате исполнения структура присоединяется к горизонту уже известных альтернатив и может точно воспроизводиться как и любая альтернатива. Повторное исполнение той же альтернативы, однако, может привести к созданию существенно другой структуры.

Так, А. Гротендик называет эти структуры .плодотворными точками зрения. на проблему. Однозначность постановки проблемы не препятствует появлению различных точек зрения на нее. В качестве элементарного примера можно привести два доказательства (исполнения) Осн. Теор. Арифм. - классическое, основанное на теории идеалов, и с помощью минимального числа. Если первое доказательство выявляет существенную зависимость разложимости на простые множители и алгоритма Евклида, то во втором доказательстве этот алгоритм заложен неявно, что затрудняет обобщение и понимание этой теоремы.

Мы изучили структуру единичного акта выбора. Теперь попытаемся понять, как начинается и заканчивается деятельность исполнения.

Ясно, что исполнение предполагает некий исходный материал (например, условие или доказательство теоремы). Полное приятие этого материала как такового означает, что мы не намерены производить дальнейшее структурирование, и, тем самым, нет возможности для исполнения. Для исполнения необходимо осознание материала как неясного, спорного, интересного (.Каждое смутное, пустое, неясное сознание с самого начала есть сознание о том-то и том-то, поскольку отсылает к некоторому пути прояснения.[Гуссерль 2, 18]). Это предполагает некую конституирующую интенцию, направленную на раскрытие содержания.

Определим интерес как полагание потенциально существующей смысловой структуры (содержания предмета интенции [Черняк, 13]). Тогда очевидно, что деятельность исполнения невозможна без интереса.

Можно предположить, что исполнение вызывается интересом и прекращается с отсутствием интереса. В частности, доказательство кончается не тогда, когда иссякает текст, не тогда, когда .нечего больше доказывать., а когда ни одна из альтернатив не полагается потенциальной неясной и сложной. Скажем, доказательство Осн. Теор. Ар. может оборваться на этапе постановки задачи (.это и так очевидно.), в момент доказательства какого-то .ключевого. утверждения типа не существует простых р₁р₂=p₃p₄ (.остальное ясно.) и т.д. Необходимость расшифровки возникает из-за активности интереса и в принципе не ограничивается сферой известных альтернатив. Например, в упомянутой теореме можно задаться вопросом .а для каких структур верна теорема?., .что такое простое число?..

Характерно, что конституированная интересом (смысловая) структура описывает лишь часть внутренних отношений исследуемого материала, а именно актуализированные в рамках той или иной объемлющей категории. Гуссерль пишет о .бесконечно открытой системе возможных восприятий как таковых. `[Гуссерль 2, 19], понимая под восприятием смыслопорождающие акты. Интерес поэтому есть не полагание той или иной структуры, но полагание возможности бесконечного раскрытия.

5.

Когда мы что-то доказываем, .объект. исполнения - готовое доказательство - в определенном смысле .скрыт. от нас. Что-то уже ясно, а что-то нужно прояснить, понять, доказать. Иногда мы понимаем, что надо доказать, иногда нет. Понимание может .прийти. в самый загадочный момент - на трапе самолета (Пуанкаре), перед сном (Гротендик) и т.д. Но разве процесс доказательства обрывается между двумя последовательными шагами понимания? Нет, он .мерцает..

Мерцание - это специфический способ существования феноменов исполнения. С одной стороны, мы говорим об исполнении одной и той же вещи, как мы показали, можно говорить даже о более или менее точном исполнении. С другой стороны, точное исполнение не всегда воспроизводимо: зафиксированная в результате исполнения логика (структура) не гарантирует нам способность повторить ее.

Действительно, воспроизведение структуры предполагает осознание ее как структуры, актуализацию отношений .так, а не иначе.. Для этого необходимо убеждение в том, что .иначе. потенциально возможно, в противном случае это .иначе. не может быть осмыслено как альтернатива. Это показывает, что уже зафиксированный выбор .так, а не иначе. не может быть решающим, не может служить этапом исполнения как структурирования. На практике, зафиксированная структура исполнения только вредит новому исполнению, создавая .эффект зубрежки. - воспроизведение логики не гарантирует истинного понимания. Известный экзаменаторам прием - слегка изменить условие и проверить, сможет ли отвечающий скорректировать решение, как раз выявляет этот эффект. Ведь в процессе воспроизведения логики структура не производится, стало быть, не происходит актуализация никакого частного вопроса. Изменение же условия, неясное в исходной целостности, проявляется именно в процессе исполнения на этапе актуализации частных альтернатив.

Какой же смысл имеет зафиксированное решение задачи, если оно не облегчает процесс решения-исполнения? Ясно, что, исполняя решение, мы встаем перед рядом уже наличных альтернатив, которые нужно заново переосмыслить и актуализировать как результаты выбора. Поэтому по сути наличные альтернативы являются не решением, а условием задачи, которую нужно исполнить этим вот конкретным способом. На самом деле, усложняя с помощью решения условие, мы упрощаем осмысление и постановку задачи, поскольку исходная целостность задачи разбивается на множество (более простых) подзадач. При этом устраняются ошибки постановки задачи.

Мерцание смысловой структуры отличается от ее потенциальности. При том, что потенциальное существование такой структуры обеспечивается интересом, ее реализация в одних и тех же условиях может привести к разным результатам, поскольку актуализация каждого выбора нерегулярна. Человек, однажды доказавший теорему о неявной функции, может воспроизвести ее как следствие теоремы о ранге, как следствие принципа сжимающих отображений или вложенных отрезков и т.д. В доказательстве могут быть ошибки (неверный выбор), неточности (не все выборы задействованы). Тем не менее мы можем говорить об исполнении одной теоремы.

6.

Как можно .остановить. исполнение? Создает ли оно какие-либо .вещи.?

В результате каждого акта соглашения на горизонте появляются новые альтернативы, связанные определенной структурой. Эту структуру легко выявить в неформальной записи доказательства, в описании маршрута и т.д. Так, доказательство распадается на .предложения., .леммы.. Также для математических утверждений характерны фразы типа : .доказательство распадается на три этапа., .откуда могло возникнуть такое требование?., .нам надо добиться того, чтобы...., .заметим, что... [ФомФукс, 252,253]. Видно, что эти фразы служит либо для структурирования частей, либо для фиксации и актуализации тех или иных значений.

Показательно, что смысловая структура исполнения - целевая (.дойти до дома., .показать, что сумма стремится к 0.), поэтому формальная часть (.где пересечь улицу., .какую подпоследовательность выбрать.) может варьироваться в определенных границах. На равнодушие в выборе того или иного средства указывают и такие расплывчатые термины как .хорошая функция., .подходящий морфизм.... Цель, мета (.предмет. у Гуссерля) любого исполнения - создание самой точной структуры, неподверженной сомнению. Ясно, что мета исполнения - понятие условное, поскольку сомнение всегда возможно. Однако говорить о мете осмысленно, поскольку деятельность исследователей интерсубъективно устремлена к ней.

Замечательным критерием, объединяющим математическое и гуманитарное доказательство, является полагание меты как возможности неограниченного обобщения (ср. [Гуссерль 2, 17-18]). В то же время, математику отличает представление о наличии минимальных структур, не подверженных сомнению. Философское доказательство может быть пересмотрено хотя бы в силу вербальности - каждое слово потенциально раскрывается до бесконечности. Математическое .слово., напротив, способно вступить в конечное число структурных связей. Поэтому, когда мы употребляем расплывчатые термины, это отчасти оправдано возможностью конкретизировать, исполнить их. Однако, в силу мерцания исполнения, эти термины не обязаны наделяться одним и тем же содержанием.

Так, .хорошая функция. в разных пространствах будет реферировать разные вещи. Может случиться и так, что в данной ситуации хороших функций не окажется в принципе, хотя мы и будем полагать их существование. Известен случай, когда относительно некоторых пространств было доказано множество фактов, пока не выяснилось, что таких пространств вообще не бывает. Отметим, что доказательства не потеряли своей убедительности - они стали неинтересны.

7.

Фиксируем момент принятия соглашения, когда мы полагаем, что достигли максимально возможной на данном этапе точности. Тем самым исходный вопрос предстал нам в разъясненном виде, когда мы уже все понимаем в нем, и, стало быть, способны работать с ним как со знанием, с известной альтернативой на горизонте. Поэтому созданная нами альтернатива, относительно которой точность достигнута, уже не является для нас чудесной, совпадает с нашими ожиданиями. Иначе с неизбежностью она стала бы для нас событием, вынудила бы к дальнейшему раскрытию.

Деятельность исполнителя есть постоянный выбор между альтернативой, диктуемой материалом, и одной из альтернатив, имеющихся на горизонте. Если первую альтернативу мы назвали чудесной, вторую следует назвать ожидаемой. Если деятельность происходит, она неизбежно должна содержать оба плана: как план чудесного, так и план ожидаемого, то есть, непосредственно сознательная деятельность есть деятельность по конструированию ожидаемой ситуации. Ожидаемую последовательность раскрытия альтернатив мы назовем идеальным планом.

Это название легко объяснить. С одной стороны, идеальный план - это план, проект развертывания, с другой стороны он никогда не происходит, поскольку событие всегда вносит свои корректировки. Идеальный план определивает событие, принципиально неуловимое для нас, и превращает его в объект, с которым можно работать - в последовательность известных альтернатив.

Гуссерль называет идеальные планы конкретных содержаний предмета протенциями [Гуссерль 3, 56], основанными на ретенциях, "следах", который оставила однажды увиденная вещь. Строго говоря, феномены неповторимы, каждое новое видение - новое событие для нас, однако увиденное нами воспроизводимо за счет ретенций. Характерный пример [Гуссерль 1, 13] - коробок спичек, у которого мы всегда видим (феноменально) три грани, хотя знаем (идеальный план), что их шесть. "Дорисовывание" трех невидимых граней и есть развертывание идеального проекта. В отличие от Гуссерля, мы будем связывать протенции не с каждым конститутивным актом, направленным на раскрытие конкретного содержания, а с направленностью на сам предмет интереса.

Идеальный план математической задачи - это проект ее решения. Если задача "не решается", это означает, что на горизонте нет обозримых альтернатив к проблеме, то есть, возникает событие непонимания, исполнения. И напротив, если задача решается до конца без проблем, это означает, что никакого исполнения в процессе решения вообще не происходило.

Идеальное положение дел может также "наложиться" на реальное. Поскольку мы оперируем нашим миром в терминах наличных альтернатив, мы можем попросту не увидеть реальной проблемы, обойти ее. Например, человек, знающий, что интеграл от 1/х на отрезке [0,1] расходится, может счесть расходящимся и интеграл от 1/x на отрезке [-1,1], как составленный из двух расходящихся интегралов. Однако из геометрических соображений видно, что в силу симметрии он равен нулю. Произойдет ли событие понимания или идеальный план наложится на реальность, предсказать невозможно, так как событие мерцает.

Понятие идеального плана позволяет нам решить скептический парадокс Витгенштейна [Витг.]. Пусть учитель объясняет ученику правило прибавления 1 и демонстрирует ему это правило для небольших чисел. Почему ученик не может превратно истолковать правило, переформулировав его как "прибавление 1 для чисел меньших 1000 и прибавление 10 для чисел больших 1000"? Потому что видоизменить правило может только событие, которое сконструирует новую альтернативу. Если альтернативы "прибавление 10 для чисел больших 1000" не было на горизонте - а она обязана отсутствовать в силу методики обучения - она не может возникнуть сама по себе. Ошибка учителя, прибавившего вместо единицы 10, может привести к непониманию правила, а, стало быть, и к событию рождения альтернативы. Однако при четком объяснении скорее всего произойдет обратное - идеальный план, сконструированный объяснением, не позволит ученику увидеть ошибку - что, кстати, чаще всего и происходит в школе.

Фиксировав доказательство в структуре, мы обрели метод, обеспечивающий нам воспроизводимость. Заметим, что фиксируется не мета понимания, на раскрытие которой ориентировано доказательство, а логика, сформированная последовательным раскрытием альтернатив исходной проблемы. Таким образом, фиксированное нами имеет дело не с реальностью происходящего, а с идеальностью соглашения, и именно в силу этого факта не мерцает. Более того, зафиксированное нами соглашение интерсубъективно, то есть, последовательность новых альтернатив неизменным образом присоединяется к горизонту всех участников исполнения. Действительно, альтернатива рождается через событие-для-всех-участников-исполнения и конституируется нами как происходящее здесь и сейчас, что обще нам по условию участия в одном исполнении.

Раз нам удалось добиться воспроизводимости и интерсубъективности, мы вправе говорить о методе как сценарии развития всех сходных ситуаций. Иными словами, зафиксировав логику, мы получили инструкцию по применению нашей задачи к любому конкретному случаю, причем эта инструкция не нуждается в дополнительном обосновании или проверке.

8.

Деятельность исполнения близка к такому повседневному феномену как разговор. В ходе исполнения ставится, обсуждается, проясняется определенная тема, относительно которой затем вырабатывается соглашение. Разговор можно определить как способ бытия исполнения, как структуру, в рамках которой исполнение возникает и развивается.

С одной стороны очевидно, что разговор - это коммуникативная структура. Действительно, новая альтернатива всегда ухватывается через выбор, диктуемый материалом, и поэтому мы вольны рассматривать взаимодействие субъект - материал как коммуникацию (гильбертовская "игра между мышлением и опытом"). Иными словами, мы заведомо предполагаем существование некоей области взаимодействия, "жизненного мира" (см. Э. Гуссерль, .Кризис европейских наук и трансцендентальная философия.), на котором и происходит общение, единение участников разговора.

Насколько правомерно введение этого мира? "Где" он находится?

Ясно, что жизненный мир должно существовать, исходя из наличия событий выбора. Событие - это способ ухватить, определить мир, материал. Событие всегда уловимо, и, стало быть, предполагает нечто отличное от нас, с другой стороны, событие по определению доступно, общо нам через некоторую объемлющую категорию. Эта категория - категория значения, и акт ухватывания события можно рассматривать как акт сигнификативный [Лосев, 50], означающий фиксированное значение через его оппозицию. Если бы в момент свершения сигнификативного акта мир "остановился", мы бы получили полное отождествление ожидаемой альтернативы с реальной. Однако поскольку каждый акт осмысления актуализирует лишь ограниченное число оппозиций, реального тождества (точности) мы никогда не имеем.

Особая структура сигнификативного акта проявляется в его внеположенности как сфере чисто субъективной, так и сфере объективной. Знак, структура сигнификативного акта "вовсе не есть ни чувственное познание или мысленное утверждение предмета, ни сознание о нем, ни просто отнесенность к нему, ни его понятие, ни его представление, ни слово о нем" [там же]. Аналогично жизненный мир - "арена встречи обозначающего и обозначаемого", субъекта и события - место взаимодействия, поэтому невозможно приписать его бытие ни субъекту (тем самым теряет смысл говорить о со-бытии), ни миру (в нем нет фиксации и тем самым нет оппозиций).

Сфера разговора замечательна тем, что подразумевает интерсубъективность взаимодействия. Тема разговора (.мета. понимания, .предмет.) обща участникам разговора по исходному соглашению участвовать в нем. Единство формирующейся структуры разговора обеспечивается тем, что а) обсуждаемый вопрос актуален для всех его участников (иначе разговор распадается); б) разговор продолжается только когда альтернатива выбора осознается как реальная альтернатива.

Попытаемся подвести итоги.

1. Разговор представляет собой деятельность по созданию смыслов. Деятельность эта происходит в "жизненном мире", как вне сферы чисто субъективного, так и вне непосредственно реального (мира).

2. В процессе разговора происходит не спонтанное рождение и угасание смыслов, но последовательное раскрытие некоего изначально фиксированного значения, которое мы назовем "темой разговора". Это раскрытие происходит через постановку новых альтернатив.

3. Для возникновения разговора необходима как минимум одна активная сторона, то есть, в нашей терминологии возможен "разговор" исследователя с происходящим о поставленной проблеме. Разговор многих участников возможен за счет соприсутствия в жизненном мире разговора и готовности обсуждать одно и то же, то есть, тему разговора. Это не означает, что участники разговора обсуждают свое индивидуальное предпонимание заранее ясной темы. Напротив, разговор возможен лишь при обсуждении происходящего здесь и сейчас события.

В разговоре возможны три ситуации:

а) (Переход разговора в спор) Уточнения вопроса не произошло. Это означает что для слушателя не произошло и события, так как выбор всегда в той или иной степени разрешает оппозиции, а следовательно и уточняет. При этом сказанное собеседником, развитие темы, воспринимается как казуистика, лишенная основания болтовня. Действительно, причины и доводы, выявленные событием для одного собеседника, останутся вне поля зрения другого.

б) (Заминка) Выбор произошел, но не произошла фиксация этого выбора через соглашение. Следовательно, поле значений не изменилось, и собеседники возвращаются к предыдущему утверждению. Ощущение непонимания, топтания на месте ("Постой, постой, я что-то не понял") свидетельствует о том, что исходный вопрос остается по-прежнему актуальным, требующим разъяснения.

Для этой ситуации характерно, что реальный разговор может прерваться на долгое время, при том, что разговор как деятельность продолжается в скрытой форме. Пока не достигнуто соглашение по данному вопросу, невозможно "отделаться" от него, снять как по той или иной причине неактуальный. Типичным маркером этой ситуации будет фраза: "Помнишь, мы тогда о чем-то говорили? А к чему мы, собственно говоря, пришли?"

в) (Угасание разговора) Произошло соглашение, которое исчерпывающе разъяснило исходный вопрос. "Исчерпывающее разъяснение" означает, что все обозримые на данный момент альтернативы принадлежат горизонту, и актуализации новых альтернатив не происходит.

Тем самым исходный вопрос (тема) становится неактуальным, перестает являться событием, и соглашение вести разговор распадается. Однако в тот же момент может возникнуть новый разговор, возможно ассоциативно связанный с предыдущим.

Таким образом, для продолжения разговора необходимы три условия: интерес к вопросу, постановка альтернатив выбора, выработка соглашения как уточнение вопроса.

Литература:

[Витг] Л. Витгенштейн, Философские работы, т.1, М, 1994, стр. 163-164

[Гротендик] А. Гротендик, Урожаи и Посевы, ч.1, М, 1996

[Гуссерль 1] Э. Гуссерль, Феноменология //Логос .1, М, 1991, сс. 12-20

[Гуссерль 2] Э. Гуссерль, Парижские доклады //Логос .1, М, 1991, сс. 8-30

[Гуссерль 3] Э. Гуссерль, Феноменология внутреннего сознания времени, М, 1994

[Гуссерль 4] Э. Гуссерль. Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии//Язык и Интеллект, М, 1996, сс.54, 57

[Лосев] А. Лосев, Проблема символа и реалистическое искусство, М, 1976

[Лосев 2] А. Лосев, История античной эстетики, т. II, 612-621

[ФомФукс] А. Фоменко, Д. Фукс, Курс гомотопической топологии, М., 1989

[Черняк] А. Черняк, Проблема оснований знания и феноменологическая очевидность, М, 1998