Одними из основных и начальных понятий в математике являются точка и пространство, которые в настоящее время вводятся без определения. Однако в древнегреческой математике существует определение точки в "Началах" Евклида - точка есть, где часть ничто. В "Схолиях" к "Началам" Евклида приводится пифагорейское определение точки как единица, имеющая положение. При таком переводе пропадают некоторые особенности, во-первых, ? ? ? ? ? по ударению эквивалентно ? ? ? ? ? (букв. единственный, один только, одинокий), во-вторых, в словаре Вейсмана приводятся случаи употребления причастия ? ? ? ? ? ? в смысле направляться, простираться, проходить через что-либо. Если учитывать эти особенности, то фразу можно перевести как "единственная, направляющая положение".

В современной математике принято считать каноном античной математики "Начала" Евклида, при этом обычно из виду упускаются другие дошедшие до нас древнегреческие памятники. Но, вообще говоря, операция присоединения отрезка к отрезку, т.е. операция суммы, вводится в "Данных" Евклида, здесь же находятся предложения о подобии, теорема Пифагора, вычисление площадей геометрических фигур. Кроме того, Папп Александрийский в "Математическом сборнике" открывает "Данными" список книг, которые составляют 32 тома "Сокровищницы анализа", предварительно сообщая, что "Начала" являются простым учебником геометрии и написаны в манере синтеза. В списке перечислено 11 наименований 12 трактатов всего четырех авторов, среди которых Евклиду принадлежат еще два сочинения: "Поризмы" (3 т.) и "Места к Явным" (2 т.). Заканчивается он "Средними" (2 т.) Эратосфена, там же "Коники" (8 т.) Аполлония Пергского и "Пространственные места" (5 т.) Аристея. В издании 1706 года "Сборника" Паппа Галеем было вставлено пропущенное наименование книги Аполлония как "Разграниченная секущая" (2 т.), в соответствии с упоминаниями в описании содержания этого трактата.

В "Данных" нет постулатов и различается данность по величине, по "идее прямолинейной схемы" (т.е. по виду прямолинейного контура) и по положению. "? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - Говорят, [что] область - и линии, и углы - [есть] данное по величине, [когда] можно доставить равный квадрат". "? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - Скажем, [что] точки - и линии, и углы - [есть] данные по положению, [когда оно] или то же самое, или имеет место". Действительно, отдельно определяется, что на концах линии имеются точки. Точка имеется при пересечении двигающихся линий, однако она пропадает при слиянии или наложении линий. Но тогда при пересечении линий всегда имеется место точки и не обязательно она сама. У отрезка два конца, следовательно, даны сразу две точки, и кроме того, постулируется возможность продолжить отрезок по прямой, но останутся ли точки по краям теми же - не понятно. И во всех этих случаях каждый раз имеется математический объект как целое и только потом его точки, т.е. точка появляется необходимым образом.

Риман, подобно пифагорейцам, вводит линию как траекторию двигающейся точки, плоскость как след двигающейся линии и т. д. В геометрии есть движение, но отсутствует время, и, следовательно, любое положение точки равновозможно во времени, в силу этого существует вся линия как целое в пространстве и точка может быть представлена в любом месте своей траектории. Точка не обладает размером, а значит, сама по себе неразличима. Мы настолько привыкли к возможности где угодно поставить точку, что забываем спросить, а каковы достаточные условия существования точки?

В современной математике мы считаем, что, с одной стороны, любое число представлено на прямой точкой, с другой стороны, оно связано мерой, в качестве которой рассматривается отрезок на прямой, представленный куском прямой между двумя точками с именами 0 и 1. При этом явного определения понятия "прямой" нет. Евклид в "Началах" определяет прямую как ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - прямая линия есть [та, которая] действительно сама по себе точкам полагает поровну. Если это определение читать с точки зрения современных представлений в математике буквально, то под точки автоматически отводятся самоподобные "меры" линии, при этом весь процесс глобально связен. Евклид в первом постулате соединяет точки прямой линией, которая и будет определять продолжение отрезка во втором постулате. Четвертый постулат: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - все прямые углы являются равными друг другу - необходим с точки зрения определения прямого угла: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? . - если прямая неподвижно поставлена на прямую, то углы один за другим делаются равными друг другу, каждый из равных углов есть прямой, и т.д. Это определение зависит от последовательности рассмотрения углов и от возможности неподвижно поставить одну прямую на другую, но в постулате и вводится возможность такого момента, при котором все углы одновременно равны, потому что только в этом случае все равно с какого именно угла начать считать. Кроме того, Евклид не приводит никаких дополнительных постулатов для стереометрии, что несколько странно, так как переход к пространству не обоснован. Однако, если предположить, что Евклид во всех "Началах" находится в трехмерном пространстве и приводит обоснование для того, чтобы работать на плоскости, то в стереометрии и не должно появляться дополнительных оснований. Платон в "Государстве" приводит остроумный пример: "волчок весь целиком стоит и одновременно движется - он вращается, но острие его упирается в одно место. Можно привести и другие примеры предметов, совершающих круговращение, не меняя места. Но мы отбросим все это, потому что в этих случаях предметы пребывают на месте и движутся не в одном и том же отношении".

В "Началах" постулируются следующие действия: построение отрезка, продолжение отрезка, построение круга, и только потом равенство всех прямых углов. Действительно, прямую, отрезок и круг нельзя уравнять, поскольку их общей мерой является точка, а вот прямые углы можно. Следовательно, вместе третий и четвертый постулаты обеспечивают возможность построения в центре круга перпендикуляра к любому радиусу этого круга, но вообще говоря, это перпендикуляр к плоскости круга. Для перпендикулярности прямых в одной плоскости нам необходимы все четыре постулата вместе, так как сначала нужны две точки, соединенные прямым отрезком. Вращение этого отрезка около одной из вершин образует круг и, учитывая возможность продолжения отрезка, задаст всю плоскость. На точку в центре круга нужно идеально поставить перпендикуляр, и только потом можно рассматривать первый прямой угол, образованный перпендикуляром и радиусом, проведенным в точку на окружности. Перпендикулярность обязательно должна быть идеальной, так как иначе на горизонтальной линии будет имеющая части "тень" вертикальной, т. е. их пересечение не будет точкой, где часть ничто. Поскольку радиус и перпендикуляр, образующие первый прямой угол, можно продлить за вершину угла, то продолжение одного из них и определит второй прямой угол, третий однозначно задается продолжением другого, после этого все три угла образуют плоскость, в которой автоматически получается четвертый угол и где можно продолжать считать по круговому обходу сколь угодно долго. Для второго угла имеется две возможности, третий однозначен, может быть поэтому у пифагорейцев первое число это три и все индукции Евклида обрываются на четвертом шаге.

Но нам еще нужно прямую поставить неподвижно и, кроме того, если одна точка есть центр, то другая будет описывать окружность, для которой есть отдельный термин - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , и почему собственно внутренние места отрезка образуют круг. Тут уж скорее прав Чжуан-Цзы и "угломер не имеет квадратной формы, циркуль не описывает круг".

Допустим, что вращением прямой вокруг одной из своих точек можно образовать коническую поверхность, другая точка на фиксированной длине от первой будет описывать окружность. Для построения центра окружности нам нужны на ней четыре места, которые должны разделить окружность на четыре самоподобных дуги так, чтобы было возможно построение двух пересекающихся диаметров. Точка из вершины конуса еще должна "увидеть" это пересечение, "как-то по идее оси конуса попасть" в центр окружности и "занять" место. Это движение сделает отрезок оси конуса явным, и можно соединить точку на окружности и точку в центре радиусом. Когда конец радиуса по ходу вращения встретит место из множества концов самоподобных дуг, то из радиуса и отрезка оси образуется первый прямой угол, далее с учетом направления вращения в концах самоподобных дуг последовательно будут получаться следующие прямые углы. После полного оборота пятый прямой угол зафиксирует ось конуса неподвижно в центре окружности, и только потом точки смогут начать двигаться по радиусу и, встретившись в середине, задать круг, а затем плоскость.

Итак, в античности тоже все свелось к двум произвольным точкам. Однако нужно заметить, что, например, при квадрировании круга важной является вполне определенная точка линии. И решение Архита, где точка возникает как пересечение поверхностей тора, цилиндра и конуса, было корректным с точки зрения дедукции. Интересно, что трисекция угла, удвоение куба и квадратура круга упоминаются вместе (исключением является Архимед), хотя грекам была известна разная степень сложности решения, и, может быть, пытались найти совместное решение этих проблем. Архимед вводит прямую как кратчайшую линию между точками, т.е. с точки зрения современной математики здесь сразу вводится метрика.

Если вернуться в "Данные" Евклида, то за единицу величины принят квадрат, и тем самым обходится вопрос о несоизмеримости его стороны и диагонали. Область (? ? ? ? ? ? ) дана по величине, если известен равновеликий квадрат. Далее Евклид определяет логос ("соотнесение"?) и данность вида прямолинейного контура, и только после этого становится возможным определение точек по положению. Пифагорейцы получали пространство движением одной точки, которая подобно героям Гомера, вероятно, может двигаться во времени независимо от движения в пространстве. Если все это учесть, то ответ на вопрос о размерности математического пространства, где можно получить точку по положению, не является тривиальным. В связи с этим определение точки как "единственной, направляющей положение" математически не является бессмысленным.

В современной математике существует понятие системы независимых векторов, которые задают систему координат. В геометрии независимость векторов связана с их перпендикулярностью. То есть в евклидовой геометрии с учетом метрики для плоскости получается квадрат, а для пространства - куб (правда и квадрат, и куб ориентированные). По аналогии с трехмерным пространством вводятся многомерные кубы. Если вспомнить, что куб с точки зрения правильных многогранников есть символ "земли", то слово геометрия скорее следует читать как "земля есть мера", и этими кубами мы заполняем пространство, но собственно, что мы мерим Землей? Пространство? Интересно отметить, что в греческом языке пространство (? ? ? ? ) связано со страной и землей, в русском - со страной и стороной. В немецком языке - Raum- это одновременно космос, вселенная, комната. И как именно "Земля" "вертится" у Галилея и на чем собирался "повернуть" ее Архимед?

С единичным отрезком связана процедура построения канторова множества. Множество строится следующим образом: задается итерационный процесс, в котором единичный отрезок делится на три равные части, средний интервал выкидывается, а два отрезка остаются, затем берется пересечение всех оставшихся частей. При этом построение, как правило, сопровождает картинка, в которой смещаются именно оставшиеся части, а не та, которую выкинули. Но для осуществления пересечения оставшихся отрезков нужна актуальная бесконечность, поскольку уже после первого шага у нас будет два непересекающихся отрезка, и в силу этого потеряется связность. После того как пересекли отрезки получится некоторая совокупность отдельных точек, поскольку мера этого множества равна 0. Точки, соответствующие концам отрезков, будут иметь числовые имена 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, ... Можно показать, что этому множеству в качестве внутренних будут принадлежать точки с именами 1/4, 3/4, 1/12, 11/12. Но выяснение принадлежности этому множеству точки с именем 1/? или 1/? , где ? - трансцендентное число Фейгенбаума, связанное с переходом от периода 2ⁿ к периоду 2ⁿ⁺¹, не является тривиальной задачей. Количество остающихся отрезков тоже растет как 2ⁿ.

Однако если бы мы захотели строить множество Кантора алгоритмически, то нам пришлось бы столкнуться со следующими трудностями. Во-первых, придется уточнять "среднюю часть" и "выкидывать", т.к. на втором шаге возникнет "между" 1/3 и 2/3, но среднюю часть мы уже выкинули. Во-вторых, на каждом шаге деление отрезков на части и выкидывание средней из них нужно делать синхронно. В-третьих, как индуцировать количество и длину части, поскольку длина сохраняется только у выкидываемых интервалов, количество которых растет как n, и в сумме эти длины как раз составляют 1. При всем этом мы должны их именно "выкидывать", например, переводить в другое или каждый раз в разные измерения. Но если мы хотим затем их суммировать, то нам придется как-то запоминать еще количество этих длин или строить из всех этих интервалов прямую как раз в соответствии с определением прямой у Евклида. Следовательно, нам нужна глобальная связность некоторой меры для локально независимых пространства и времени. Интересно отметить, что 1/e мы выкинем на первом шаге, но именно это число есть единица без одной из самоподобных частей в степени, где степень - это количество этих частей. Предел берется по количеству, и не является ли точка, соответствующая этому числу той самой "единственной, направляющей положение" в определении пифагорейцев.

Лосев в "Диалектических основах математики" упрекает Гильберта в некоторой непоследовательности и тавтологичных повторах аксиоматики. "Гильберт "не знает", что такое прямая; и, определивши ее двумя точками, он еще не знает, имеются ли эти две точки на ней фактически или нет". Но все дело именно в том, что вряд ли хоть один математик знает или когда-нибудь знал это, особенно если учитывать замечание Гильберта о том, что "надо, чтобы такие слова, как "точка", "прямая", "плоскость", во всех предложениях геометрии можно было заменить, например, словами "стол", "стул", "пивная кружка". И эта наша обычная математическая неясность устраняется только лишь при конкретном исследовании, где всегда нужно "шаг за шагом прослеживать способы манипуляции над данным числовым материалом". Но зато, если нам в конце концов удастся синхронизация динамики пространства и времени, может быть, мы наконец сможем оценить устойчивость равновесия и открытую окрестность точки. Кажется, после того как они разминулись, ее уже видел Морис Бланшо и даже оставил мемуары об этом, "когда, все так же пребывая в охватившем меня со всех сторон преисполненном мощи созерцании, я заметил, что мои глаза зорко следят за чем-то оставшимся поначалу мною несхваченным, за точкой, нет, не точкой, а за расцветом, улыбкой сразу целого пространства, она выражала, занимала все пространство..."

Если вернуться к обычному символьному инструменту современного математика, то мы Землей заполняем Пространство для того, чтобы найти Точку опоры актуальной бесконечности. Считается, что дедуктивная математика появилась в Греции и слово "математика" происходит от древнегреческого ? ? ? ? ? ? - наука, но нам до сих пор не удается найти область нашего знания. Может быть, имеет смысл написать звук "? " по разному и повторяя слово на разных диалектах греческого с различными формами "и" - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? "? ? ? " ? ? ? ? ? ? ..."? ? ? ? ? "... ? ? ? "? ? ? ? ? " - ? ? ? ? ? ? - что означает блуждание или без основания "и" только... "вина"... Конечно "матан" - знание. Наука усматривать необходимость, допускать возможности, понимать достаточность, оценивать различные скорости сходимости необходимости и достаточности с точностью до выколотой окрестности действительной Точки, где часть Ничто.