В своем капитальном труде "Стили научного мышления в европейской традиции" А. Кромби [1994] приписывает грекам аксиоматический стиль мышления (postulational style) по образцу геометрии. Согласно Кромби, греческая концепция аксиоматики и метод постулатов, по существу, восходит к Платону, Аристотелю и Евклиду [Crombie 1994, 103]. Платоновская концепция науки, развиваемой на основе гипотез, иллюстрируется в известной Диаграмме Отрезок 1[Гос. 511d-e.] где знание разделена на уровень рассудка (???) и уровень разума (???). На уровне рассудка, знание, касающееся математических предметов, выступает в виде умозаключений, получаемых рассуждениями (???), исходя из некоторой совокупности условно (???) 2[Гос. 533с] принимаемых гипотез.

Однако, вышеупомянутая схема неприменима в случае греческой арифметики. В частности, она не применима к тому варианту пифагорейской арифметики, осуществляемой с помощью камушек (???), известному нам из сочинений Никомаха Геразского, Теона Смирнского, Ямблиха, и других. Стиль изложения арифметики в этих сочинениях существенно отличается от стиля, известного нам от Евклида и других математиков классической Греции. Для них, характерно отсутствие доказательства в смысле Евклида и своеобразное представление чисел с помощью камушек. Отсутствие математической изобретательности арифметики камушек привело историков математики к негативной оценке такой версии арифметики и ее характеристике как декаданс греческой математики [Tannery 1887, 11-12; Heath 1921, 1, 97-99]. И это, несмотря на то, что работы Никомаха пользовались широким влиянием среди византийских, латинских, и арабских ученых вплоть до XVI-го века н.э., и Никомаха считали авторитетом в области арифметики того же ранка, как Евклида в геометрии.

В этой работе мы постараемся выделить основные черты пифагорейского арифметического мышления на основе имеющихся источников 3[Речь идет о работах Никомаха Геразского (2ой в. н.э.), Теона Смирнского (2ой в. н.э.), Ямвлиха (4-й в.), Прокла (5-й в.) и др. Среди ранних свидетельств об арифметике камушек - несколько отрывков в фрагментах досократиков а также в сочинениях Платона и Аристотеля. К ним следует прибавить предложения 21-36 Книги IX "Начал" Евклида, которые О. Беккер [1936] приписывает пифагорейцам, а также соответствующие сочинения Диофанта "О полигональных числах". Однако, эти сочинения изложены в евклидовском стиле.]

1. Областью арифметических рассуждений является трех-размерная среда, неограниченная в одном направлении.

Число у неопифагорейцев, условно (???) 4[Nicom. Intr. Arith., II. vi. 2, Hoche.] обозначается конечным, но неограничено продолжаемой строкой знаков, построенных из единиц определенным образом, т.е. расположением единиц подряд. Оно имеет внутреннюю структуру (???) и обладает стандартным порядком (???). Более того, оно зависит от единицы, так как оно является множеством единиц, а их "бесконечно много".

Линейность расположения знаков нарушается в случае плоских и телесных чисел. При этом, плоское (телесное, соответственно) число получает своеобразное схематическое изображение в виде "области", ограниченной совокупностями знаков, представляющими числа низжного порядка, т.е. линейные или плоские числа.

Таким образом, область предметов арифметики камушек стратифицирована в соответствии с размерностью их представления, т.е. в зависимости от их комбинаторной сложности. Такая стратификация в линейных, плоских и телесных числах делает необходимым применение различных порождающих операций на каждом уровне. Линейный числовой универсум порождается применением итеративного процесса прибавления единицы 5.[Nicom. Intr. Arith., II. vi. 2; vii. 3, Hoche.

06 этой операции свидетельствует также более древный источник чем "Арифметика" Никомаха. Это - фрагмент Эпихарма:

"- <Если> к четному числу или, если тебе угодно, к четному,

Кто-нибудь пожелает прибавить камушек или же отнять < его>,

Как ты думаешь, после этого число останется таким же?

- Ни в каком случае, клянусь богами!"

[Diels, Fragmente der Vorsokratiker, Epicharmos, A.2].] В случае фигурных чисел в роли основной порождающей операции выступает применение "гномона" 6[Общее определение гномона находим у Герона: "вообще гномоном является то, что при прибавлении к чему-нибудь, числу или фигуре оставляет составленное целое подобным тому, что было до прибавления" [Heron, Def. 56: Heron, IV, Heiberg, 225].

Основные свойства гномона четко выделяются Ямвлихом, а именно, свойства увеличительности и сохранения формы фигур: "Гномон увеличительный ... при сложении сохраняет форму фигуры" [Iambi, in Nicom. Anth. Intr. 58, 19-21, Pistelli].

06 истории этого инструмента см. [Heath 1921/60, 1, 78-79].].

2. "Алфавитом" арифметики камушек служит единица, т.е.

L={а}.

Единица в пифагорейской традиции представляет собой "минимальную сущность"7[Iambl, in Nicom. Arith. Intr., 11. 1, Pistelli.] "неделимую по природе"8[Nicom. Intr. Arith. I. viii. 4, Hoche; Theon in math. ad Platonis, III. 35-6, Hiller.] и служит "естественным началом всех <чисел"9[Nicom. Intr. Arith. 1. viii. 2, Hoche.]. Операция прибавления единицы допускает определение над L так, что числа определяются как строки вида

k ??? (a, а,..., а),

где ??? значит, что k является сокращением строки

(а,а,.,.,а),

состоящей из k знаков.

Далее, понятие "естественной строки" (???)10[Nicom. Intr. Arith. II. viii. 3, Hoche.] вводится как конечная последовательность вида

<1,2,3,...,k>,

и все виды чисел, обсуждаемых в неопифагорейских сочинениях, вводятся с помощью естественных строков, порождаемых определенными правилами.

3. Финитный принцип

Число в арифметике камушек есть пересчитанная последовательность дискретных единиц. Эти дискретные, неделимые сущности образуют однородную дискретную среду счета (???), "безграничный" универсум неделимых единиц. В этой среде единицы сочетаются в определенные, упорядоченные "ограниченные" совокупности и образуют числа. Соответственно, число представляет собой "границу" (???) на фоне "безграничного" (???)11[Учение о безграничном и границе впервые появляется у Филолая, только вместо термина "граница" он использует термин "ограничивающее" (???), Аристотель, при своем изложении пифагореизма, видимо, опирается на свидетельств Филолая [Burkert 1972], который, по всей видимости, был первым, кто письменно изложил это пифагорейское учение.]. "Ограничение" (определенность) достигается путем "сочетания" единиц в совокупности.

Согласно Проклу, "число, начиная с единицы может возрастать без конца, однако любое число взятое в отдельности - конечно"12[Procl. in End 6.5, Friedlein.]. Предметом науки могут стать только конечные объекты, а предметом арифметики, только "определенное множество". "Необходимо, - пишет Ямвлих - чтобы природа предметов науки была обозримой" (???)13[Iambl. De Comm. Math. Sci.7,31, Festa; in Nicom. Arith. Intr. 4, 26, Pistelli.]. Прокл также свидетельствует, что пифагорейцы рассматривали конечные предметы в отвлеченности от бесконечности, так как последнее "нельзя охватить интуицией" (???)14.[Procl. in Eucl. 36. 5-10, Friedlein.] Никомах также подчеркивает, что

Поскольку всякое множество и всякая величина по необходимости бесконечны по своей собственной природе (так как множество начинает возрастать от определенной основы и <никогда> не прерывается, а величина делится, начиная от определенной целостности, и никоим образом процесс деления не может прерываться, а продолжается до бесконечности), а науки всегда являются науками о конечных <вещах>, и никогда о бесконечных, то ясно, что не может возникнуть никакой науки, изучающей множество в чистом виде или величину в чистом виде (потому что каждое из них - неопределено: множество - в отношении большего, а величина - в отношении меньшего). Наука <может изучать> только нечто ограниченное: множество - количеством, величина - мерой15[Nicom. Intr. Arith. I. ii. 5. 1-12, Hoche.]

Следовательно, пифагорейцы ограничивались рассмотрением только таких предметов, которые допускают финитное содержательное истолкование, т.е. предметами, обозримыми конечным умом.16[Однако, есть свидетельства, показывающие, что в области философии пифагорейцы, видимо, проявляли готовность признать актуальную бесконечность, но они оказывались непоследовательными и склонялись к допущению потенциальной бесконечности. В частности, Аристотель пишет, что "пифагорейцы и Платон трактуют [бесконечное] как само по себе, а, именно, не как акциденцию чего-то другого, а как самобытную субстанцию [Phys. III. iv. 203а, 4-6]. Но, далее, он их обвиняет в непоследовательности: "пифагорейцы нелепо полагают бесконечное субстанцией и одновременно делят его на части" {Phys. III. v. 204а, 33-35].

Особенно отчетливым является также свидетельство комментатора Аристотеля Фемистия, который замечает: "пифагорейцы намерены рассматривать то, что они называют "бесконечным" как субстанцию, но они непоследовательны и склоняются к тому, чтобы считать его акциденцией. Действительно, они полагают бесконечным четное и, следовательно, рассматривают бесконечное как атрибут числа и делят его на части. Стало быть, [согласно пифагорейцам], бесконечное есть количество, а не субстанция {Paraphr. to Phys., 84.21; Фрагменты, 1989, 482] .] Соответственно, только определенные "отсчитанные области", т.е. конечные конфигурации, рассматриваются в каждом случае. Конечный ум способен охватить конечный сегмент различных предметов. Такой сегмент фиксирован конечной верхней границей. Эта граница, как правило, малая, но может, в принципе, стать как угодно большой. Соответственно, сегмент можно считать потенциально бесконечным.

4. Арифметика строится посредством генетических построений различных конфигураций, соответствующих различным "состояниям ума". Акт выполнения следующего шага в процессе генетического построения осуществляется операциями комбинаторного характера, а его выполнение влечет за собой изменение "отсчитанной области".

Пифагорейская арифметика камушек строится как наглядная теория счета, т.е. как теория о фигурах некоторого простого вида. Все различные конфигурации являются результатами конкретных завершающихся генетических построений. Предметы, вводимые такими генетическими построениями, являются бесконечными последовательностями, которые обычно иллюстрируются неполностью с помощью конечной естественной строки или конфигурации. Поскольку рассматриваемые предметы (числовые последовательности, строки, конфигурации) представимы только посредством только конечных сегментов и никогда не рассматриваются как имеющиеся в наличие, предполагается, что процесс построения может продолжаться до бесконечности.

Все генетические построения обладают следующими свойствами:

а) начинают из единицы;

6) если результат применения определенных итеративных операций порождают числа требуемого вида, то акт выполнения следующего шага порождает новые числа требуемого вида;

в) процесс генетического построения порождает все числа требуемого вида.

В каждом этапе математик наблюдает некоторую "отсчитанную область" и решает какую операцию он должен выполнить на следующем этапе. Операциями, которыми пифагорейские математики воспользовались при этом, - следующие:

i. прибавление (или снятие) единицы;

ii. сложение конечного числа членов строки;

iii. сложение частей числа;

iv. умножение членов строки на число;

v. умножение двух естественных строков по-членам;

vi. построение по умножению или по еписинтезу,

vii. преобразование естественных строков по определенному правилу.

Их выполнение влечет за собой изменение "отсчитанной области". Сам акт определяется обозримой "отсчитанной областью" на каждом этапе, а также настоящим "состоянием ума".

5. Арифметические рассуждения осуществляются в виде "эксперимента" над конкретными предметами - камушками.

Любое высказывание о числах в пифагорейской арифметике провозглашает некоторый закон, который мог подтверждаться в каждом конкретном случае чисто комбинаторным путем. Для заданных конкретных чисел достаточно проверить, с помощью камушек (???) и построения соответствующих конфигураций, верно ли то, что высказано данным предложением об этих числах или нет.

Такая ориентировка на содержательные рассуждения о таких наглядных объектах, как камушки, можно осуществлять независимо от предположений аксиоматического характера. Содержательные арифметические рассуждения выступают при этом в виде мысленных экспериментов17[Это характерная черта финитной точки зрения, см. [Гильберт, Бернайс 1982, $7; Hilbert, Bemays 1934, 1, 20].] над конкретно заданными предметами - камушками, а центральное место занимает процедура не доказательства (???), а эффективной разрешимости (???).

Соответственно, арифметическое бытие неопифагорейцев представляет собой генетическое истинное, положительное (без отрицания) бытие, порождаемое минимальным, неделимым, выделенным предметом - единицей. Оно также дескриптивно, так как оно основано на "указание", т.е. на вневременном процессе порождения, протекающем по определенным правилам.

ЛИТЕРАТУРА

Гильберт Д. Бернайс П. 1982. Основания математики: логические исчисления И формализация арифметики. Москва: Наука (русс. пер. Hilbert, David and Bemays, Paul. 1934. Grundlagsn derMathematik 1. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag).

Becker 0. 1936. "Lehre vom Geraden und Ungpraden im Neunten Buch der euldidischen Elemente", Quellen und Studien zur Geschichte derMathematik, Astronomie und Physik, 3 * 533-553.

Burkert W. 1972. Lore and Science in Ancient Pythagareanism. Cambridge Mass.

Crombie A.C. 1994. Styles of Scientific Thinking in the European Tradition. London: Duckworth.

Heath Th. 1912 A History of Greek Mathematics. Vol. 1. Clarendon Press, Oxford.

Tannery, Paul(us). 1887. La Geometrie Grecque. Histoire generale de la geometric elementaire. Paris.