ЗЕНКИН Александр Александрович

Член Философского Общества России,

Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник

Вычислительного Центра РАН.

e-mail: alexzen@com2com.ru

АННОТАЦИЯ

серии статей о методе супер-индукции А.А.Зенкина.

     В 1949 году немецкий математик H.E.Richert доказал (Richert, H.E., UberZerlegungeninpaarweisevershiedeneZahlen, NorskMat. Tidssk.31 (1949), 120-122) следующее не совсем обычное условное утверждение:

     "ЕСЛИ существует (хотя бы одно) натуральное число n*, обладающее свойством Q(n*),

        ТО для любого натурального числа n>n* выполняется свойство P(n)",

или, в более краткой символической записи:

                   [$n*Q(n*)] ® ["n>n*P(n)],                    (1)

где P и Q=f(P), связанные между собой, но различные теоретико-числовые свойства (предикаты), определенные на множестве обычных конечных натуральных чисел.

     Таким образом, Теорема Ричерта (далее - ЕА-Теорема) представляет собой математическое доказательство индуктивного утверждения

"от единичного [$n*Q(n*)] к общему ["n>n*P(n)]".

     В 1978 году, используя метод когнитивной визуализации математических абстракций [1], я открыл (независимо от Ричерта) два новых существенно различных класса такого типа ЕА-Теорем, что позволило мне сформулировать общий метод супериндукции (далее - СИ-метод) для доказательства общих математических утверждений. Логическая суть СИ-метода проста и естественна: если доказана (условная) ЕА-Теорема (1), и если удалось (как правило, с помощью компьютера) найти хотя бы одно натуральное число n*, для которого выполняется Q(n*), т.е. если удалось доказать истинность единичного утверждения [$n*Q(n*)], то из (1), по правилу modusponens, мы получаем достоверную истинность общего утверждения ["n>n*P(n)]. После этого остается численно проверить истинностные значения предиката P(n) на конечном отрезке от 1 до n*. Таким образом, полностью решается общая математическая задача о том, какие натуральные числа n³1 обладают свойством P(n), а какие - нет.

     С помощью СИ-метода было получено большое число новых результатов в области классической теории чисел, связанной с так называемой Обобщенной Проблемой Варинга [ 1-7 ]

     Однако, открытие ЕА-Теорем имеет большое прикладное значение не только для классической теории чисел. Природа таких ЕА-Теорем оказывается тесным образом связанной с некоторыми фундаментальными понятиями и концепциями классической логики. Сформулирую некоторые из таких неожиданных и глубоких связей.

     1. Как известно, основная парадигма индуктивной логики Дж.С.Милля заключается в том, что из частного набора фактов всегда можно "вывести" (точнее – "изобрести" и сформулировать) некоторое общее утверждение, но такое общее утверждение всегда будет лишь вероятностным, правдоподобным  утверждением, и никогда - достоверным. Потому что всегда имеется отличная от нуля вероятность того, что некий очередной, 1001-й факт может вступить в противоречие с этим общим утверждением, т.е., по К.Попперу, фальсифицировать это общее утверждение.

     Существование ЕА-Теорем свидетельствует о том, что в некоторых разделах (дискретной) математики указанная парадигма индуктивной логики Дж.С.Милля нарушается, т.е. оказывается возможным достоверный (т.е. нефальсифицируемый, в принципе) индуктивный вывод общего утверждения, даже не из частного набора фактов, а из единичного факта.

     2. Как известно, основное правило вывода классической логики Аристотеля - знаменитое правило "modusponens" - звучит так:

                        [A & [A ® B]] ® B.                         (2)

В математике это правило является одним из основных правил дедуктивного вывода, т.е. импликация [A®B] понимается в том смысле, что менее общее утверждение B (например, теорема) дедуктивно выводится из более общего утверждения A (например, из системы аксиом). ЕА-Теоремы обобщают классическое правило "modusponens" на случай, когда посылка A импликации [A®B] является единичным утверждением, а ее дедуктивное следствие  B - общим.

     3. Одной из самых неожиданных особенностей ЕА-Теорем является то, что, в общем случае, на теоретико-числовые свойства (предикаты) P и Q не налагается … никаких ограничений. Действительно, можно взять любое свойство P и любую зависимость Q=f(P) в выражении (1), - самое "ужасное", что при этом может произойти, - это то, что просто не удасться доказать соответствующую ЕА-Теорему. И ничего более. Например, пусть P есть произвольное математическое свойство. Определим некоторое новое математическое свойство Q=f(P), скажем, следующим образом:

                        Q(n*) = P(n*) &  " n>n* [P(n) ®P(n+1)]],                        (3)

где n является связанной переменной, а потому предикат Q(n*) действительно зависит только от переменной n*. В таком случае, подставляя (3) в ЕА-Теорему (1), мы получаем:

                   $ n* [P(n*) & [ " n>n* [P(n) ® P(n+1)]]] ®" n>n* P(n)                    (4)

     Как нетрудно видеть, выражение (4) представялет собой не что иное, как знаменитый метод полной математической индукции Б.Паскаля. Таким образом, метод полной математической индукции Б.Паскаля является частным случаем СИ-метода. Более того, как показала наша обширная математическая практика, СИ-метод эффективно работает там, где метод Б.Паскаля работать, в принципе, не может.

     4. Метод когнитивной компьютерной визуализации позволяет создавать такие конечные образы (так называемые пифограммы) бесконечных математических объектов, которые, - в силу логической специфики ЕА-Теорем и основанного на них СИ-метода, - являются абсолютно легитимными визуальными аргументами строгих математических доказательств. Можно сказать, что когнитивная визуализация математических абстракций и СИ-метод возрождают на аутентичном уровне метод остенсивных доказательств.

     В приведнных ниже статьях также обсуждаются некоторые проблемы философии и психологии познания, связанные с применением когнитивной визуализации математических абстракций - вообще и метода супер-индукции - в частности.

     Работа выполнялась в течение 1995-2000 г.г. при поддержке РГНФ (грант 98-03-04348).

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

     1. А.А.Зенкин, Когнитивная компьютерная графика. Применение в классической теории чисел. - М.: Наука, 1991, 191 стр.

     2. A.A.Zenkin, Super-Induction Method: Logical Akupuncture of Mathematical Infinity. - Twentieth World Congress of Philosophy. Boston, U.S.A., 1998. Proceedings, Section "Logic and Philosophy of Logic". Project PAIDEIA on-line:

 http://www.bu.edu/wcp/Papers/Logi/LogiZenk.htm

     3. А.А.Зенкин, Супериндукция: новый метод доказательства общих математических утверждений с помощью компьютера. - Доклады РАН, том 354, No. 5,  587 - 589 (1997).

     4. А.А.Зенкин, Обобщенная проблема Варинга: Оценка функции G(m,r) через функцию g(m-1,r) с помощью метода супериндукции. - Доклады РАН, том 355, No. 6, 727 - 730 (1997).

     5. А.А.Зенкин, Обобщенная проблема Варинга: G(m,r)£ G(0,r) +m+1 для любых m³ 1, r³ 3. - Доклады РАН, том 355, No. 2, 151 - 153 (1997).

     6. А.А.Зенкин, Метод супериндукции: логическая акупунктура математической бесконечности". - В сб. "Бесконечность в математике: философские и  исторические аспекты", ред. проф. А.Г.Барабашев. - М.: "Янус-К", 1997 г., стр. 152-168, 173-176.

     7. А.А.Зенкин, Когнитивная компьютерная графика: новое в логике математических доказательств. - Труды XI Междунар. Конф. ЛМФН, Москва - Обнинск, 1995 г., т.2, стр. 129-136.

     8. Андрей Ваганов, интервью с А.Зенкиным. "МУЛЬТИМЕДИЙНЫЙ ВАРИАНТ НАСКАЛЬНОЙ ЖИВОПИСИ. Визуализация математических абстракций обещает революцию в научном познании". –"Независимая газета" от 22 марта 2000 г. Приложение "НГ-НАУКА". Электронная версия:

http://science.ng.ru/policy/2000-03-22/1_mmedia.html

     9. Александр Зенкин. "НАУЧНАЯ КОНТРРЕВОЛЮЦИЯ В МАТЕМАТИКЕ. Левополушарная преступность" вот уже больше века правит бал во владениях "королевы всех наук". -"Независимая газета" от 19 июля 2000 г. Приложение "НГ-НАУКА". Электронная версия:

http://science.ng.ru/magnum/2000-07-19/5_mathem.html :

Автор может предоставить электронные версии статей  3-7 по индивидуальному запросу.