Начиная с 1966 (или 1967) года, Э. Ветте опубликовал ряд работ, в которых он сообщал о полученных им доказательствах непротиворечивости некоторых формальных систем, к которым относятся и геделевские теоремы о неполноте. Вторая из этих теорем состоит в том, что такое доказательство непротиворечивости возможно лишь в случае противоречивости соответствующей формальной системы. Но в силу новых доказательств непротиворечивости (хорошо формализуемых, как утверждает Ветте) эти системы непротиворечивы. Таким образом, в метатеории этих систем возникают коллизии, которые я предлагаю называть «парадоксами Гёделя-Ветте» (G-W). Правда, мне не удалось проверить или хотя бы приблизительно понять ход доказательств непротиворечивости, о которых пишет Ветте, или встретить кого-либо из тех, кому это удалось. Быть может, Ветте сознательно пишет на им же введенном новом языке, не давая читателям ключа. Однако то немногое, что я сумел понять в его работах, согласовывается с моими идеями настолько, что я не могу говорить о последних, не упоминая G-W.
До 1979 г. я выработал несколько «прототеорий» (касающихся употребления модальностей, семиотических концепций, отождествлений и т.д. в основаниях математики), которыми был намерен восполнить пробелы, образующиеся после устранения глубоко укоренившейся веры в единственность натурального ряда чисел (0, 1, 2, ...). Об этом я уже писал и, по-видимому, вскоре буду писать вновь. Расщепление этого ряда привело к возможности погрузить казавшиеся трудными проблемы оснований теории множеств в некое месиво прототеоретических конструкций, включившее в себя и разного рода парадоксы, и способы их преодоления. G-W среди этих парадоксов не было, потому что употребление различных натуральных рядов приводило к пересмотру тех концепций, к которым применимы геделевские приемы арифметизации метатеорий. Но, начиная с упомянутого года, появилась возможность успешно заменять различные «бесконечные» ряды чисел объектами, финитными в «традиционном» смысле. Возникли финитные (в этом смысле) доказательства непротиворечивости для (расширенной) системы Цермело-Френкеля (ZF), «логика» которой была, однако, несколько урезана.
Лишь в конце 1988 г. мне удалось преодолеть эти «логические» ограничения. Возникли финитные доказательства непротиворечивости для систем ZF (с недостижимыми числами) и T, т. е. шпеккеровской разновидности куайновской системы NF (на которую тоже были в 1991-92 гг., распространены такие доказательства). Одновременно и автоматически возник, в конце работы, G-W а также некоторые «Re-парадоксы», состоящие в некоей формализации относительности понятий конечности и бесконечности, примененных к одному и тому же «множеству». Для оснований математики эти парадоксы не вызывали опасных проблем, так как их удается устранить, пользуясь прототеориями.
Возникший труд был весьма обширен и читателю пришлось бы преодолеть (вряд ли только один) увесистый том прежде, чем добраться до важных результатов, оказавшихся в самом конце. Публикация такого материала по меньшей мере затруднительна. Теперь появляется доказательство противоречия в арифметике, получаемое путем фиштизации доказательства второй теоремы о неполноте. Доказательства непротиворечивости ZF и других важных систем при этом даже не упоминаются. Значение новой работы для этих доказательств состоит лишь в усмотрении того, что препятствие, казавшееся вряд ли преодолимым, хотя и очень серьезно, но не относится специально к таким доказательствам.
Причину появления противоречивых доказательств я предлагаю усматривать в широком распространении «реалистических» (или «платонических») подходов за пределами их обоснованной применимости. «Сущности» явлений иногда расщепляются незаметно для рассуждающего, который не догадывается о необходимости вовремя изменить обозначения. Объекты, которые следовало бы обозначить по-разному и различать, сливаются для рассуждающего в один. При пересчете таких объектов легко может возникнуть путаница.
Это происходит в случаях самсреферентнюс обозначений. Такие обозначения встречаются и в доказательствах теорем о неполноте, и, вполне сходным образом, в заданиях этих противоречивых «доказательств». Встречаются они и в античном парадоксе лжеца. Рассматривая фразу «я лгу», следует различать (по крайней мере) две вхождения слова «лгу»: в запись этой фразы (скажем, на бумаге) и в то вхождение этой фразы, которое этой записью упоминается. Гёдель явно отмечает связь своих доказательств с этим парадоксом лжеца, но соответствующего различения не сделал, заменяв его отождествлением некоторой формулы G (S (v p)), расписанной в одной из строк его доказательства и имеющей в его нумерации номер, равный S (v p), в этом ее «явном» вхождении и другом, которое этим явным вхождением ее части «S (v p)» упоминается - да еще не просто, а особым образом, так что ёе статус во втором вхождении оказывается несовместимым с ее статусом в первом.
Я называю такие отождествления «диагональными», и притом «отрицательными». Иногда они бросаются в глаза, как в обсуждаемых сейчас случаях, но это отнюдь не означает, что их неявного употребления легко избежать с помощью формального критерия, отметающего любые возможности злоупотреблять ими в рассуждениях. «Диагональные отождествления» допускают необозримое множество видоизменений, к которым трудно применять (заранее данные) критерии. Так, если S (v p) введено как V*, получаемое из S (v p A) замещением переменной A посредством нового вхождения v p , отождествляемого с прежним вхождением v p путем «диагонального» отождествления, то нелегко определить, как это V* будет отличаться от результата применения нескольких шагов, при которых A замещается S (v p , v p ) сперва посредством B+1/3 v p а затем в полученном результате посредством 2/3 v p, с последующим упрощением суммы 2/3 v p + 1/3 v p заменой ее на v p (модифицируя пример, легко избежать употребления дробей.)
Поэтому я предлагаю иной подход, сходный с тем, которым воспользовался Г. Кантор, когда «диагональные» подстановки - или отождествления - стали возникать при попытках пересчета (десятичных) разложений действительных чисел, множество таких разложений - а также чисел - было объявлено им неперечисдимым. и это привело к возникновению новых важных концепций, отнюдь не нелепых.
Также и теперь, при возникновении «парадоксов», связанных с перечислениями формул языка (скажем) арифметики, я предлагаю отказаться от того взгляда, будто все эти «формулы» образуют счетную совокупность. Объекты, допускающие хорошо известный (типа алфавитного) пересчет, следовало бы называть не формулами, а, скажем, «формулоидами»; не они, а их конкретные вхождения б математические выводы должны подлежать истолкованиям и становиться осмыслэнными «формулами». Противоречия в сфере формулоид могут возникать, как совершенно неудивительные «контрадикцоиды», от которых далеко до серьезных логических осложнений. Нет необходимости стремиться к их полному изгнанию, они могут встречаться и в теориях, непротиворечивость которых прекрасно доказывается - и в этом важная причина того, что доказательства непротиворечивости могут иметь силу, несмотря на то, что они даны средствами метатеории, оперирующей взаимно противоречащими формулоидами.
При изложении прототеорий следует принимать меры не только к достаточности анализа интуитивной работы с отождествлениями (и другими «актами прототеорий») для избежания опасной путаницы, но и к простоте классификаций (этих «актов») и уменьшению новых видов объектов. Иначе эти виды легко могут стать необозримыми. Поэтому начинать придется с изложения конкретных парадоксов, по возможности не упоминая о прототеориях, которые, впрочем, сами, когда придет время, начнут ломиться в ход традиционных рассмотрений. Значительный пересмотр традиционных взглядов и результатов становится теперь неотвратимым. С «теоремами о неполноте», по-видимому, придется распрощаться, как и с теми следствиями, которые были из них получены многими авторами, и так же может обстоять дело с некоторыми аналогами этих теорем.
Сейчас незачем обсуждать, хорошо это или плохо. Я готов представить свой последний труд к проверке кому угодно, и должен предупредить, что это потребует напряженных формалистических усилий. Лишь после осуществления этой стадии можно будет приступить к изложению моих работ 1988-91 гг. и обновленного изложения прототеорий.
Доказательства утверждений, допускающих финитную интерпретацию, будут излагаться, по возможности финитными же методами.
XI МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ. ЛОГИКА, МЕТОДОЛОГИЯ, ФИЛОСОФИЯ НАУКИ. — Секции: 1. ЛОГИКА И ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. - Москва-Обнинск 1995. — Т.1 стр.29-32